Question

De un triángulo sabemos que: a = 12 m, y B = 42° y C= 120°. . Calcula los restantes elementos.
ayuden ​

Answer 1

El ángulo A tiene un valor de 18°. Los lados b y c del triángulo tienen magnitudes de 25.98 y 33.63 metros respectivamente

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Resolución De Triángulo Oblicuángulo

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: B de 42° y C de 120° como β y γ respectivamente

Hallamos el valor del del tercer ángulo A al cual denotamos como α  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 42^o+ 120^o+ \alpha }}$

$\boxed {\bold {\alpha = 180^o - 42^o- 120^o }}$

$\large\boxed {\bold {\alpha = 18^o }}$

El valor del ángulo A (α) es de 18°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del lado b

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{12 \ m }{ sen (18 ^o ) } = \frac{ b }{sen(42^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 12 \ m \ . \ sen(42 ^o ) }{\ sen(18^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 12 \ m \ . \ 0.6691306063588 }{0.3090169943749 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 8.0295672763062 }{ 0.3090169943749 }\ m}}$

$\boxed { \bold { b \approx 25.98422\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b = 25.98 \ metros }}$

El valor del lado b es de 25.98 metros

Hallamos el valor del lado c

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{12 \ m }{ sen (18 ^o ) } = \frac{ c }{sen(120^o) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 12 \ m \ . \ sen(120 ^o ) }{\ sen(18^o) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 12 \ m \ . \ 0.8660254037844 }{0.3090169943749 } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 10.392304845413 }{ 0.3090169943749 }\ m}}$

$\boxed { \bold { c \approx 33.63020\ m }}$

$\large\boxed { \bold { c = 33.63 \ metros }}$

El valor del lado c es de 33.63 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas