Question

Buenas Tardes, alguien me puede explicar cómo se soluciona esta pregunta. Gracias.

Answer 1

NOTA: escribiré sqrt (utilizado en lenguaje de programación) en lugar del símbolo de la raíz cuadrada porque no escribo desde el ordenador.

Si u es elemento de S, entonces u = a ·sqrt(2), con a un número entero positivo.

Si v es elemento de S, entonces v = c·sqrt(2), con c un número entero positivo.

Analicemos primero la afirmación (1): si u y v son elementos del conjunto S, entonces u + v es también elemento de S.

u + v = a ·sqrt(2) + c·sqrt(2)

Si sacamos factor común la raíz cuadrada de 2, tenemos:

u + v = (a + c)·sqrt(2)

Como a y c son enteros positivos, se tiene que a + c = d es un número entero positivo, por lo que u + v = d·sqrt(2), con d un número entero positivo ---> u + v es un elemento de S.

Para la afirmación (2): si u y v son elementos del conjunto S, entonces u·v es también elemento de S.

u·v = a·sqrt(2)·c·sqrt(2) = a·c·(sqrt(2))^2 = a·c·2
Puesto que a y c son enteros positivos, a·c·2 es entero positivo pero hemos perdido el factor sqrt(2) ---> u·v no pertenece a S.

Conclusión:

Sólo la afirmación (1) es verdadera.

Espero haberte ayudado, A.