Calcular las dimensiones de un trapecio isósceles, sabiendo que su perímetro es 298 metros y que la base mayor es doble de la base menor y triple de la altura.
Respuestas
Respuesta:
Las dimensiones del trapecio son:
base menor 63,857 metros
base mayor 127,714 metros
cada lateral oblícuo 53,214 metros
altura 42,571 metros.
Explicación paso a paso:
Un trapecio isósceles es un trapecio con cuyos lados oblícuos son de la misma medida. En la figura adjunta, llamamos "h" a los lados oblícuos.
Según el enunciado, la base mayor es doble que la menor. De acuerdo a ello, si mide "x" la base menor, la base mayor mide "2x". Siendo así, si trasladamos la base menor sobre la mayor, los segmentos sobrantes miden x/2, ya que la suma de ambos segmentos es x.
Llamamos "a" a la altura del trapecio y forma un triángulo rectángulo a cada lado (sombreado en la figura adjunta), cuya hipotenusa es "h", un cateto es "a" y el otro cateto es x/2.
Según el enunciado, la base mayor es el triple que la altura, y a la inversa, la altura es la tercera parte de la base mayor. Como la base mayor es 2x, la altura es: a = 2x/3.
Aplicando el teorema de Pitágoras, resulta:
hipotenusa² = cateto-a² + cateto-b²
h² = (2x/3)² + (x/2)² = 4x²/9 + x²/4 = 16x²/36 + 9x²/36 = 25x²/36 = (5x/6)²
h = 5x/6
El perímetro del trapecio es la suma de sus lados, es decir:
x + 2x + 2h = 3x + 2(5x/6) = 3x + 5x/3
Como en el enunciado se nos dice que el perímetro vale 298 metros, igualamos la expresión del perímetro con esa cantidad:
3x + 5x/3 = 298
9x + 5x = 894
x = 894/14
x = 63,857 metros
Sustituyendo el valor de x en la expresión de h:
h = 5x/6 = 5*63,857/6 = 53,214 metros.
Sustituyendo el valor de x en la expresión de a:
a = 2x/3 = 2*63,857/3 = 42,571 metros
De acuerdo los valores calculados las dimensiones del trapecio son:
base menor 63,857 metros
base mayor 127,714 metros
cada lateral oblícuo 53,214 metros.
altura 42,571 metros
