Respuestas
Explicación paso a paso:
El sistema es compatible determinado. La solución es:
\begin{gathered}x=-2+5z\\y=-3+4z\end{gathered}
x=−2+5z
y=−3+4z
Siendo z la variable independiente.
Para resolverlo podemos aplicar la reducción Gaussiana:
- Escribimos la matriz ampliada del sistema:
\begin{gathered}\left[\begin{array}{cccc}3&-2&-7&0\\1&-2&3&4\\1&-1&-1&1\end{array}\right]\end{gathered}
⎣
⎢
⎡
3
1
1
−2
−2
−1
−7
3
−1
0
4
1
⎦
⎥
⎤
- Aplicamos operaciones elementales por filas. Empezamos cambiando la fila 1 (f1) por la fila 2 (f2):
\begin{gathered}\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\3&-2&-7&0\\1&-1&-1&1\end{array}\right]\end{gathered}
⎣
⎢
⎡
1
3
1
−2
−2
−1
3
−7
−1
4
0
1
⎦
⎥
⎤
- Multiplicamos f1 por -3 y el resultado lo sumamos algebraicamente con f2, modificando f2:
\begin{gathered}\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\0&4&-16&-12\\1&-1&-1&1\end{array}\right]\end{gathered}
⎣
⎢
⎡
1
0
1
−2
4
−1
3
−16
−1
4
−12
1
⎦
⎥
⎤
- Multiplicamos f1 por -1 y el resultado lo sumamos a f3,modificando f3:
\begin{gathered}\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\0&4&-16&-12\\0&1&-4&-3\end{array}\right]\end{gathered}
⎣
⎢
⎡
1
0
0
−2
4
1
3
−16
−4
4
−12
−3
⎦
⎥
⎤
- Intercambiamos f2 con f3:
\begin{gathered}\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\0&1&-4&-3\\0&4&-16&-12\end{array}\right]\end{gathered}
⎣
⎢
⎡
1
0
0
−2
1
4
3
−4
−16
4
−3
−12
⎦
⎥
⎤
- Multiplicamos -4 por f2 y la sumamos a f3, modificando f3:
\begin{gathered}\left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&4\\0&1&-4&-3\\0&0&0&0\end{array}\right]\end{gathered}
⎣
⎢
⎡
1
0
0
−2
1
0
3
−4
0
4
−3
0
⎦
⎥
⎤
Se ha eliminado la tercera fila, por lo tanto el sistema es indeterminado.
Nos quedan solo dos ecuaciones, y la matriz resultante es 2x3 (2 filas y 3 columnas)
- Multiplicamos 2 por f2 y la sumamos a f1, modificando f1:
\begin{gathered}\left[\begin{array}{cccc}1&0&-5&-2\\0&1&-4&-3\end{array}\right]\end{gathered}
[
1
0
0
1
−5
−4
−2
−3
]
- Ahora volvemos a escribir la matriz en forma de sistema de ecuaciones,y nos queda:
\begin{gathered}x-5z=-2\\y-4z=-3\end{gathered}
x−5z=−2
y−4z=−3
- Aplicando transposición de términos, nos quedan las variables en función de z:
\begin{gathered}x=-2+5z\\y=-3+4z\end{gathered}
x=−2+5z
y=−3+4z