Question

Calcular (a + b) si la división:

$\frac{ax^{5}+ bx^{4}- x^{3}+ 7x^{2}- 5x - 12}{3x^{2}+ x - 4}$ ; es exacta.

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                      Teorema del Resto

Veamos que nos dice este teorema:

"Sea "a" un número y P(x) un polinomio, la evaluación o valor numérico de P(x) en x= a es igual al resto de dividir a P(x) por el polinomio D(x)= x - a"

Además, si tenemos un polinomio de la forma:  D(x)= x + a, lo expresamos como: D(x)= x -(-a) y deberemos evaluar en x= -a

En otras palabras, agarramos el divisor y lo igualamos a cero, para luego despejar "x" y evaluarlo en el polinomio

Recordemos también que, una división es exacta si el resto es igual a 0

Veamos el divisor:

Tenemos el polinomio:

3x² +x - 4

Vamos a factorizarlo:

Podemos expresar "x" como:  4x - 3x

3x² + 4x - 3x - 4

x×(3x + 4) - (3x + 4)

(3x + 4) (x - 1)

Por lo tanto tenemos:

$(3x + 4)(x-1)=0$          

$3x+4=0$          

$x= -\frac{4}{3}$

$x-1=0$

$x=1$

Como la división es exacta:

$ax^{5} +bx^{4} -x^{3} +7x^{2} -5x-12=0$

• Evalúamos en x= -4/3

$a(-\frac{4}{3} )^{5} +b(-\frac{4}{3} )^{4} -(-\frac{4}{3} )^{3} +7(-\frac{4}{3} )^{2} -5(-\frac{4}{3} )-12=0$

$-\frac{1024}{243} a+\frac{256}{81} b+\frac{64}{27} +\frac{112}{9} +\frac{20}{3} -12=0$

$-\frac{1024}{243} a+\frac{256}{81} b+\frac{256}{27} =0$    Ecuación 1

• Evalúamos en x= 1

$a(1)^{5} +b(1)4^{2} -(1)^{3} +7(1)^{2} -5(1)-12=0$

$a+b-1+7-5-12=0$

$a+b-11=0$    Ecuación 2

Resolvamos el sistema:

Despejamos "a" en ecuación 1

$-\frac{1024}{243} a=-\frac{256}{81} b-\frac{256}{27}$

$a= (-\frac{256}{81} b-\frac{256}{27} )*(-\frac{243}{1024} )$

$a= \frac{3}{4} b+\frac{9}{4}$

Reemplazamos en ecuación 2

$\frac{3}{4} b+\frac{9}{4} +b-11=0$

$\frac{7}{4} b-\frac{35}{4} =0$

$\frac{7}{4} b=\frac{35}{4}$

$b= \frac{35}{4} *\frac{4}{7}$

$b=5$

Reemplamos "b" en ecuación 1

$-\frac{1024}{243} a+(\frac{256}{81} )*5+\frac{256}{27}=0$

$-\frac{1024}{243} a+\frac{1280}{81} +\frac{256}{27} =0$

$-\frac{1024}{243} a=-\frac{2048}{81}$

$a= -\frac{2048}{81} *(-\frac{243}{1024} )$

$a=6$

La solución de este sistema es de:

                          (a,b)= (6,5)

El ejercicio nos pide:

a + b= 6 + 5= 11  Solución

Te dejo un ejercicio similar

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Saludoss