Question

demuestra que el Triángulo de vértices A(-2,8) y B(-6, 1) y C ( 0,4 ) es un triángulo rectángulo. Representa graficamente.
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Answer 1

El triángulo dado es rectángulo

Se demostró aplicando el teorema de Pitágoras

Dados los vértices de un triángulo en el plano cartesiano se pide demostrar si el triángulo dado es rectángulo

Luego

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\large\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Vértices:

$\bold{A (-2,8) }$

$\bold{B (-6,1) }$

$\bold{C (0,4) }$

Dado que el polígono, -que en este caso es un triángulo- se encuentra en el plano cartesiano, para poder determinar si el triángulo es rectángulo o no lo es:

Primero debemos determinar las dimensiones de los lados

Para ello emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

a) Determinamos la longitud del lado AB

$\bold{A (-2,8) \ \ \ B(-6,1)}$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = \sqrt{((-6)-(-2) )^{2} +(1-8 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = \sqrt{(-6+2 )^{2} +(1 -8 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB}= \sqrt{(-4) ^{2} + \ (-7)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{ 16 + 49 } } }$

$\large\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{65 } \ unidades } }$

$\bold{Lado \ \overline{AB} \approx 8.06 \ u}$

b) Determinamos la longitud del lado BC

$\bold{B (-6,1) \ \ \ C(0.4)}$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = \sqrt{(0-(-6) )^{2} +(4-1 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = \sqrt{(0+6 )^{2} +(4-1 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC}= \sqrt{ 6 ^{2} + \ 3^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{36 + 9 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{45 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{9 \ . \ 5 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{3^{2} \ . \ 5 } } }$

$\large\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = 3\sqrt{5} \ unidades } }$

$\bold{Lado \ \overline{BC} \approx 6.71\ u}$

c) Determinamos la longitud del lado AC

$\bold{A (-2,8) \ \ \ C(0,4)}$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC} = \sqrt{(0-(-2) )^{2} +(4-8 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC} = \sqrt{(0+2)^{2} +(4-8 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC}= \sqrt{2 ^{2} + (-4)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{4 + 16 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{20 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{4 \ . \ 5 } } }$

$\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{2^{2} \ . \ 5 } } }$

$\large\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = 2\sqrt{5 } \ unidades } }$

$\bold{Lado \ \overline{AC} \approx 4.47 \ u}$

Conocidas las magnitudes de todos los lados del triángulo

Empleamos la notación habitual en triángulos rectángulos

Luego a los lados de menor magnitud los denotaremos como "a" y "b" y serán los catetos

Y como sabemos que en un triángulo rectángulo el lado de mayor valor es la hipotenusa a ese lado lo llamaremos "c"

Luego tendremos:

$\large\textsf{a = Lado AC = Cateto 1 = }\bold{2\sqrt{5} \ unidades }$

$\large\textsf{b = Lado BC = Cateto 2 = }\bold{3\sqrt{5} \ unidades }$

$\large\textsf{c = Lado AB = Hipotenusa = }\bold{\sqrt{65} \ unidades }$

Donde si se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, luego el triángulo será rectángulo.

Si esto no se cumple no lo será

Aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar si el triángulo dado es rectángulo o no lo es

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed {\bold {\left(\sqrt{65}\right ) ^{2} = \left(2\sqrt{5}\right )^{2} \ + \ \left(3\sqrt{5}\right ) ^{2} }}$

$\boxed {\bold { 65= 2^{2} \ . \ 5 \ +3^{2} \ . \ 5 }}$

$\boxed {\bold { 65= 4 \ . \ 5 \ +9 \ . \ 5 }}$

$\boxed {\bold { 65= 20 +45 }}$

$\large\boxed {\bold { 65 \ u ^{2} = 65 \ u^{2} }}$

$\large\textsf{ Se cumple la igualdad }$

Concluyendo que como el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos por lo tanto el triángulo dado es rectángulo

Se agrega la representación gráfica solicitada como archivo adjunto