Question

Dada la recta: Ax+By-4=0. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la dada, y que forma con los ejes coordenados un triángulo, cuya área sea 13/4 veces, el área del triángulo formado por la recta dada y los ejes coordenados.

Answer 1

La ecuación de la recta dada se puede escribir como,

$y(x)=-\frac{A}{B}x+\frac{4}{B}$

Para esta recta sus puntos de intersección con los ejes coordenados son,

$y(0)=-\frac{A}{B}(0)+\frac{4}{B}=\frac{4}{B}$

y,

$0=-\frac{A}{B}x+\frac{4}{B}=\frac{4}{B}$

$x=-\frac{4}{A}$

Así que el triangulo que forma con los ejes coordenados tiene un área de,

$A=\frac{4}{A}\frac{4}{B}=\frac{16}{AB}$

La recta que buscamos forma un triangulo de,

 $\frac{13}{4}A=\frac{13}{4}\frac{16}{AB}=\frac{13*4}{AB}=\frac{52}{AB}$

y ya que es perpendicular a la recta dada, su pendiente debe ser el recíproco negativo de la pendiente de la recta dada, es decir que es de la forma,

$f(x)=\frac{B}{A}x+\alpha$

donde $\alpha$ es aún desconocida. Sus puntos de intersección con los ejes coordenados son $y=\alpha$ y $x=-\frac{A\alpha}{B}$, así que el área del triangulo se puede expresar como,

$\frac{13}{4}A=\frac{52}{AB}=\frac{A\alpha^2}{B}$

así que $\alpha<span>$ debe ser,

$\alpha=\frac{\sqrt{52}}{A}<span>$

y por lo tanto la ecuación de la recta es,

$f(x)=\frac{B}{A}x+\frac{\sqrt{<span>52}}{A}</span>$