Question

Interés compuesta. Cálculo y Regla de L'Hopital

Answer 1

Respuesta:

La función que tienes es:

$A=P(1+\frac{r}{n})^{nt}$

Al aplicar límites cuando el número de compuestos por año (es decir, n) tiende a infinito, obtenemos:

$\lim_{n \to \infty} (P(1+\frac{r}{n})^{nt})=P(1+\frac{r}{\infty})^{\infty t}=P(1+0)^{\infty}=P(1^{\infty})--->F.I.$

Se llega a una forma indeterminada de la forma:

$1^\infty$

Antes de aplicar L'Hopital, porque recordar que solo es aplicable para las formas indeterminadas:

$\frac{0}{0},\frac{\pm \infty}{\mp \infty}$

Modificaremos la función de la siguiente manera:

$A=P(1+\frac{r}{n})^{nt}\\\\Ln(A)=Ln(P(1+\frac{r}{n})^{nt})\\\\Ln(A)=Ln(P)+Ln((1+\frac{r}{n})^{nt})--->Logaritmo\: de\: un\: producto\\\\Ln(A)=Ln(P)+(nt)Ln(1+\frac{r}{n})--->Logaritmo\: con\: un\: exponente\\\\Ln(A)=Ln(P)+\frac{Ln(1+\frac{r}{n})}{\frac{1}{nt} }$

Aplicamos logaritmo natural a ambos lados de la expresión, y aplicamos propiedades de logaritmos para ir simplificando. El paso final es para generar una forma indeterminada que nos permita aplicar L'Hopital.

Si aplicamos límite cuando n tiende a infinito a esta nueva expresión, obtenemos:

$Ln(A)= \lim_{n \to \infty} (Ln(P)+\frac{Ln(1+\frac{r}{n})}{\frac{1}{nt} })\\\\Ln(A)=Ln(P)+\frac{Ln(1+\frac{r}{\infty })}{\frac{1}{\infty t} }\\\\Ln(A)=Ln(P)+\frac{Ln(1+0)}{0}\\\\Ln(A)=Ln(P)+\frac{0}{0}--->F.I.$

Ahora, a la expresión que genera la forma indeterminada, asignamos las siguientes funciones:

$f(n)=Ln(1+\frac{r}{n} ),r=cte\\\\g(n)=\frac{1}{nt},t=cte$

Y empezamos a derivar:

$f'(n)=r(-\frac{1}{n^{2}} )(\frac{1}{1+\frac{r}{n} } )\\\\g'(n)=(\frac{1}{t})(-\frac{1}{n^{2}})$

Ahora, cambiando el límite, y aplicando propiedades de los logaritmos, simplificamos

$Ln(A)= \lim_{n \to \infty} (Ln(P)+\frac{r(-\frac{1}{n^{2}} )(\frac{1}{1+\frac{r}{n} } )}{(\frac{1}{t})(-\frac{1}{n^{2}})})\\\\Ln(A)=Ln(P)+ \lim_{n \to \infty} ( \frac{r(-\frac{1}{n^{2}} )(\frac{1}{1+\frac{r}{n} } )}{(\frac{1}{t})(-\frac{1}{n^{2}})})\\\\Ln(A)=Ln(P)+ \lim_{n \to \infty} \frac{r(\frac{1}{1+\frac{r}{n} } )}{\frac{1}{t}}\\\\Ln(A)=Ln(P)+ \lim_{n \to \infty} tr(\frac{1}{1+\frac{r}{n} } )\\\\Ln(A)=Ln(P)+ tr\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1+\frac{r}{n} } )$

$Ln(A)=Ln(P)+ tr(\frac{1}{1+\frac{r}{\infty } } )\\\\Ln(A)=Ln(P)+ tr(\frac{1}{1+0})\\\\Ln(A)=Ln(P)+ tr(1)\\\\Ln(A)=Ln(P)+ trLn(e)\\\\Ln(A)=Ln(P)+ Ln(e^{rt})\\\\Ln(A)=Ln(Pe^{rt})\\\\A=Pe^{rt}$

El proceso es largo, pero es todo el procedimiento para llegar al Resultado. Espero te sirva!!