Question

Me pueden ayudar con esta ecuacion: 2e^{4x} + e^{3x} + e^{2x} + 11e^{x} - 6 = 0
Gracias de antemano.

Answer 1

Primero podes hacer un cambio de variable, por ejemplo y=e^x
Entonces tu ecuación se convierte en 2y^4+y^3+y^2+11y-6=0
Entonces tenes un polinomio de grado 4, podes buscar a ver si tiene raíces evidentes, voy probando y veo que 0,1,2 no son raíces del polinomio, -1 tampoco pero -2 si lo es.
Entonces divido el polinomio por y+2, por ejemplo usando Ruffini
   
     2    1    1    11    -6
     +    +    +     +     +
-2      -4     6  -14     6        
     2  -3     7    -3     0

Entonces 2y^4+y^3+y^2+11y-6 = (y+2)(2y^3 -3y^2+7y-3) = 0
Sabemos que una de las respuestas posibles es y=-2
Ahora buscamos para que valores de y se cumple que 2y^3 -3y^2+7y-3 vale 0

1/2 es otra de las raíces evidentes (en general cuando uno tiene un polinomio de grado mayor a 2, puede probar con alguna de las raíces pequeñas enteras como 1,2,3,4 también con las negativas -1,-2,-3,-4 con el cero En este caso no funcionaron así que probé con alguna fracción y el 1/2 funcionó)

Entonces divido el polinomio 2y^3 -3y^2+7y-3 por y-1/2 usando Ruffini

        2    -3    7    -3    
        +     +    +     +     
1/2          1    -1    3
        2    -2    6     0

Luego 2y^3 -3y^2+7y-3 = (y-1/2)(2y^2-2y+6) = 0
Sabemos que una de las respuestas es y=1/2
Ahora buscamos para que valores de y se cumple que 2y^2-2y+6 vale 0
Para ello uso la fórmula de la resolvente y=2+-raízde(4-4*2*6) todo sobre 2*2 es decir y=2+-raízde(-44) todo sobre 4

Como (en reales) no hay raíces de números negativos, si queres encontrar valores de x reales solo te sirven los valores de y=-2 e y=1/2

Para estos dos valores, busco los valores de x correspondientes sabiendo que y=e^x

Entonces para y=-2 queda e^x=-2 En este caso no hay ningún valor de x que me sirva, ya que la exponencial siempre es positiva, nunca va a darnos un valor negativo, entonces no hay ningún valor de x que cumpla e^x=-2
Para y=1/2 queda e^x=1/2 Para despejar x aplico logaritmo natural a ambos lados de la igualdad, queda ln(e^x)=ln(1/2) es decir x=ln(1/2) lo cual es aproximadamente -0.693147181