Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican
f(x) = 4x² - 2x + 1 en x = 2
f(x) = 1/2x en x = 2
Respuestas
Respuesta dada por:
15
El signo de la derivada en ese punto te dice si la función crece o decrece
Para f(x)=4x² - 2x + 1 la derivada es f ' (x) = 8x-2 En el punto x=2 la derivada vale f ' (2) = 14 Un número positivo por lo cual la función crece en x=2
Para verificarlo podrías graficar la cuadrática (sin demasiados valores, ya sabes que como el coeficiente que acompaña a x² es positivo la función decrece hasta el x del vértice, y a partir de allí crece hasta el infinito, entonces podrías hallar las raíces, marcar el vértice en medio, y luego ver que como x=2 está a la derecha del vértice entonces es correcto que a x=2 la función es creciente)
La otra función no sé si es 1/(2x) o 1/2 * x es decir x/2
En el caso de ser f(x) = x/2 la función es una recta que siempre crece Si quisieras verlo con la derivada te queda f ' (x) = 1/2 Lo cual es positivo para todo valor de x es decir que comprobas también con la derivada que la función siempre es creciente
Para la función f(x) = 1/(2x) Si quiero derivar puedo usar la regla del cociente, o reescribir la función de la siguiente manera f(x)= (2x)^(-1) y luego usar la regla de la cadena Queda f ' (x) = - (2x)^(-2) *2 es decir
f ' (x) = -2 / (2x)^2 Si reemplazo para x=2 me queda f ' (2) = -2/4² = -1/8 lo cual es negativo, lo que quiere decir que la función decrece en ese punto
De hecho cualquier valor que le de a x, al elevarlo al cuadrado me queda algo positivo, y como estoy dividiendo -2 por algo positivo Ya se que el resultado de la derivada da siempre negativo
Es decir que con la derivada puedo saber que mi función siempre decrece
Para corroborarlo también podrías graficar la homografica 1/(2x) que es bastante parecida a 1/x Tiene asíntotas en x=0 y en y=0 Si gráficas sus dos ramas de forma aproximada te das cuenta de que la función es decreciente para todo valor de x
Es decir que podes corroborar graficamente lo que hallaste con tu derivada
Para f(x)=4x² - 2x + 1 la derivada es f ' (x) = 8x-2 En el punto x=2 la derivada vale f ' (2) = 14 Un número positivo por lo cual la función crece en x=2
Para verificarlo podrías graficar la cuadrática (sin demasiados valores, ya sabes que como el coeficiente que acompaña a x² es positivo la función decrece hasta el x del vértice, y a partir de allí crece hasta el infinito, entonces podrías hallar las raíces, marcar el vértice en medio, y luego ver que como x=2 está a la derecha del vértice entonces es correcto que a x=2 la función es creciente)
La otra función no sé si es 1/(2x) o 1/2 * x es decir x/2
En el caso de ser f(x) = x/2 la función es una recta que siempre crece Si quisieras verlo con la derivada te queda f ' (x) = 1/2 Lo cual es positivo para todo valor de x es decir que comprobas también con la derivada que la función siempre es creciente
Para la función f(x) = 1/(2x) Si quiero derivar puedo usar la regla del cociente, o reescribir la función de la siguiente manera f(x)= (2x)^(-1) y luego usar la regla de la cadena Queda f ' (x) = - (2x)^(-2) *2 es decir
f ' (x) = -2 / (2x)^2 Si reemplazo para x=2 me queda f ' (2) = -2/4² = -1/8 lo cual es negativo, lo que quiere decir que la función decrece en ese punto
De hecho cualquier valor que le de a x, al elevarlo al cuadrado me queda algo positivo, y como estoy dividiendo -2 por algo positivo Ya se que el resultado de la derivada da siempre negativo
Es decir que con la derivada puedo saber que mi función siempre decrece
Para corroborarlo también podrías graficar la homografica 1/(2x) que es bastante parecida a 1/x Tiene asíntotas en x=0 y en y=0 Si gráficas sus dos ramas de forma aproximada te das cuenta de que la función es decreciente para todo valor de x
Es decir que podes corroborar graficamente lo que hallaste con tu derivada
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