Question

Dada la parabola y=x2-2x+1 determina. El valor de k para que la recta y=3x+k sea tagente a ella

Answer 1

Como la recta es tangente entonces en los puntos x,y coincidiran por lo que igualaremos las ecuaciones de la parabola y la recta es decir:
3x+k =x²-2x+1 
x²-5x+(1 -k)=0
como el punto de tangencia es unico entonces solo hay una soluciona a la ecuacion cuadratica anterior osea el discriminante es igual a cero
Δ=0
25-4(1)(1-k)=0
25-4(1-k)=0
25-4+4k=0
4k=-21
k=-21/4 (Respuesta)

Answer 2

Tenemos la siguiente parábola:
y=x²-2x+1

1) Primero de todo tenemos que calcular la primera derivada de esta función:
y´=2x-2

La información que nos da esta recta es la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de esta (m).

Si te fijas la pendiente de la recta y=3x+k, es el número que acompaña a la "x" que es 3; por tanto sabemos que la pendiente de y=3x+k es m=3.

y=mx+b
m=pendiente
b=coordenada del eje y, cuando x=0;

Por tanto como sabemos por un lado que la pendiente es 3 (m=3), y la pendiente de la curva en cualquier punto es y=2x-2; vamos a determinar el punto de la recta donde intersecta a la parábola (x,y).
para ello "2x-2" tendra que tener un valor de "3".
2x-2=3
despejando esta ecuación determinamos el punto "x"
2x-2=3
2x=3+2
2x=5
x=5/2;

Vamos a hallar cuanto vale "y" sustituyendo "x" por "5/2" en la ecuación de la parábola:
y=x²-2x+1
y=(5/2)²-2(5/2)+1
y=25/4 - 5 +1
y=(25-20+4)/4
y=9/4

Y ahor que sabemos que x=5/2 y que y=9/4; lo unico que tenemos que hacer es sustitutir estos valores en la recta y=2x+k, para determinar el valor de "k"
y=3x+k
9/4=3(5/2)+k
9/4=15/2+k
k=9/4 - 15/2
k=(9-30)/4
k=-21/4=-5.25

Solución : K=-21/4   o    K=-5.25.