Question

dos estaciones de bomberos a y b estan separados una distancia de 20km .un incendio forestal f es detectado si la estacion b reporta el incendio en un angulo abf de 53°,y la estacion A con un angulo BAF de 28,5°¿a que distancia esta el incendio de la estacion A?¿de la estacion B?​

Answer 1

El incendio se encuentra a una distancia de 16.15 kilómetros de la estación A y a 9.65 kilómetros de la estación B

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un triángulo AFB el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre las dos estaciones de bomberos A y B, y los lados AF (b) y BF (a) que equivalen a las dos distancias desde las estaciones A Y B respectivamente hasta donde se encuentra el incendio forestal . Donde desde la estación A se visualiza el incendio en F con un ángulo de 28.5° y desde la B con uno de 53°

En donde se debe calcular a que distancia se encuentra el incendio de cada una de las dos estaciones de bomberos A y B

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: BAF de 28.5° y ABF de 53° como α y β respectivamente

Hallamos el valor del del tercer ángulo F al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 28.5^o+ 53^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 28.5^o- 53^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 98.5^o }}$

El valor del ángulo F (γ) es de 98.5°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del lado b (lado AF) -distancia de la estación A hasta el incendio en el punto F

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(F)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen (53 ^o ) } = \frac{ 20 \ km }{sen(98.5^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 20 \ km \ . \ sen(53 ^o ) }{\ sen(98.5^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 20 \ km \ . \ 0.7986355100472 }{0.9890158633619 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 15.972710200945 }{ 0.9890158633619 }\ km}}$

$\boxed { \bold { b \approx 16.1501\ km }}$

$\large\boxed { \bold { b = 16.15 \ km }}$

La distancia de la estación A hasta el incendio es de 16.15 kilómetros

Hallamos el valor del lado a (lado BF) -distancia de la estación B hasta el incendio en el punto F

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(F)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(28.5 ^o ) } = \frac{ 20 \ km }{sen(98.5^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 20 \ km \ . \ sen(28.5 ^o ) }{\ sen(98.5^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 20 \ km \ . \ 0.4771587602596 }{0.9890158633619 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 9.5431742051921 }{ 0.9890158633619 }\ km}}$

$\boxed { \bold { a \approx 9.6491 \ km }}$

$\large\boxed { \bold { a = 9.65 \ km }}$

La distancia de la estación B hasta el incendio es de 9.65 kilómetros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas