Question

Demostrar q si se comete un error al medir el diametro de una esfera el error relativo del volumen de la esfera es 3veces el error relativo del radio

Answer 1

Medida el diámetro: D
Error en la medida del diámetro: ΔD

Medida del diámetro con error: D + ΔD

Error relativo en la medida del diámetro: ΔD / D

Volumen usando D: V = K * [D/2]^3 = c * D^3

Volumen con el error: V' = k * [(D+ΔD)/2]^3 = c * (D+ΔD)^3

Error relativo en el volumen = [V' -V] / V = V'/V - 1

Error relativo en el volumen = (D+ΔD)^3 / D^3 - 1 =

= [(D+ΔD)^3 - D^3 ] / D^3 = [D^3 + 3(D^2) ΔD + 3D(ΔD)^2 + (ΔD)^3 - D^3] / D^3

Como ΔD se supone pequeño frente a D, los términos que 3D*(ΔD^2) y (ΔD)^3 pueden despreciarse frente a los términos que tiene solo 3(D^)2ΔD

Por lo que el numerador queda en: 3(D^2) ΔD, y la fracción queda en

3(D^2)ΔD / D^3 = 3(ΔD/D), que es 3 veces el error relativo en la medida del diámetro, y hemos demostrado que el error relativo en el volumen de la esfera es 3 veces el error relativo en la medida del diámetro, tal como se pedía.