Question

halla el area de un triángulo cuya base y altura son respectivamente el lado del triangulo equilatero y el lado del cuadrado inscrito en una cia cuyo radio vale raiz cuadrada de 2 cm

Answer 1

Fíjate en el dibujo adjunto.

A partir del radio del círculo circunscrito al cuadrado se obtiene la diagonal de este último ya que será el doble del radio, es decir:

Diámetro del círculo = Diagonal del cuadrado
Por tanto dicha diagonal medirá  $2 \sqrt2}$

A partir de la diagonal se puede obtener el valor del lado del cuadrado mediante la fórmula derivada del teorema de Pitágoras que dice:

Diagonal = Lado × $\sqrt2}$   ... despejando el lado...

$Lado= \frac{Diagonal}{ \sqrt{2} } = \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } =2$

Ya tengo que el lado del cuadrado es 2
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Pero ese lado puedes observar que es también la altura del triángulo equilátero, por tanto, sabiendo ese dato y que los tres ángulos iguales del equilátero miden 60º, por la función trigonométrica del seno se puede obtener el lado del equilátero ya que se forma un triángulo rectángulo entre un lado (hipotenusa), la mitad del mismo (cateto menor) y la altura (cateto mayor)

El seno de 60º es  $\frac{ \sqrt{3} }{2} }$

$\frac{ \sqrt{3} }{2} }$ = Cat. opuesto (altura=2) / Hipotenusa (lado)

Despejando ... 

Hipotenusa (lado) = $\frac{2}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{4}{ \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3} }{3}$

Sabiendo lado (base del equilátero) y altura, sólo queda aplicar la fórmula para cualquier área de un triángulo:

$A= \frac{Base*Altura}{2} = \frac{(4 \sqrt{3}/3)*2 }{2} = \frac{4 \sqrt{3} }{3}$

Saludos.

Answer 2

R=√2

base(b)=lado del triángulo
*El lado de un triángulo inscrito a una circunferencia es R√3

altura (h)=lado del cuadrado
*El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es R√2

por lo tanto
b=R√3= (√2)×(√3)= √6

h=R√2= (√2)×(√2)=√4=2

Área del triángulo
A= b× h / 2

A= √6×2 / 2

A= √6= 2.44 cm