Question

Dadas las rectas L1; L2 y L3. Determinar los valores de A y B, para que la recta L1 sea paralela a L2 y forme con L3 un ángulo de 45 grados, si L1 es lado inicial.
L1: (A + 1)x + Ay – (2A + B) = 0 ; L2: (5B + 1)x + 4By +A + B = 0. L3: Ax + (2.A + 6)y + A = 0.

Answer 1

RESOLUCIÓN.

En primer lugar hay que despejar las Y en cada ecuación.

L1: Y = - ( A + 1 / A)*X + (2A + B / A)

L2: Y = - (5B + 1 / 4B)*X - (A + B / 4B)

L3: Y = - (A / 2A + 6)*X - (A / 2A + 6)

Como condición inicial a estudiar es la que explica que L3 tiene un ángulo de 45º tanto con L1 como con L2, por lo tanto se planteará la ecuación con base en L1 y L3.

Arctg (-A - 1 / A) - Arctg (-A / 2A + 6) = 45º

Resolviendo esta ecuación se tiene que el valor de A es:

A = -3,2947

Ahora se tiene la segunda condición la cual es que L1 y L2 deben ser paralelas, por lo tanto sus pendientes deben ser iguales.

A + 1 / A = 5B + 1 / 4B

4B * (A + 1) = A * (5B + 1)

4AB + 4B = 5AB + A

4B = AB + A

B = A / 4 - A

Sustituyendo el valor de A se tiene que el valor de B es:

B = - 0,4517

Answer 2

A  =  2   y   B  =  1,   para que la recta L1 sea paralela a L2 y forme con L3 un ángulo de 45 grados.

Explicación paso a paso:

Vamos a construir un sistema de ecuaciones con las relaciones de las pendientes de las rectas:

La primera ecuación la obtenemos de la relación de paralelismo entre las rectas L1 y L2. Si las rectas son paralelas, sus pendientes m1 y m2 son iguales.

$m1~=~-\dfrac{A~+~1}{A}$                        $m2~=~-\dfrac{5B~+~1}{4B}$

m1  =  m2        por lo tanto            $-\dfrac{A~+~1}{A}~=~-\dfrac{5B~+~1}{4B}$

La segunda ecuación la obtenemos de la fórmula de la tangente del ángulo entre las rectas L1 y L3.

$\bold{Tan(45^{o})~=~\dfrac{m3~-~m1}{1~+~m1\cdot m3}}$

$m1~=~-\dfrac{A~+~1}{A}$                        $m3~=~-\dfrac{A}{2A~+~6}$

Sustituyendo en la fórmula de la tangente

$1~=~\dfrac{(-\dfrac{A}{2A~+~6})~-~(-\dfrac{A~+~1}{A})}{1~+~(-\dfrac{A~+~1}{A})\cdot(-\dfrac{A}{2A~+~6})}$

De esta segunda ecuación se obtiene el valor de A y luego se sustituye en la primera ecuación para hallar B.

$1~+~(-\dfrac{A~+~1}{A})\cdot(-\dfrac{A}{2A~+~6})~=~(-\dfrac{A}{2A~+~6})~-~(-\dfrac{A~+~1}{A})\qquad\Rightarrow$

$1~+~\dfrac{A~+~1}{2A~+~6}~=~\dfrac{(A~+~1)(2A~+~6)~-~A^2}{A(2A~+~6)}\qquad\Rightarrow$

$\dfrac{2A~+~6~+~A~+~1}{2A~+~6}~=~\dfrac{(A~+~1)(2A~+~6)~-~A^2}{A(2A~+~6)}\qquad\Rightarrow$

$A(3A~+~7)~=~(A~+~1)(2A~+~6)~-~A^2\qquad\Rightarrow$

$3A^2~+~7A~=~A^2~+~8A~+~6\qquad\Rightarrow\qquad \bold{2A^2~-~A~-~6~=~0}$

Resolvemos usando la ecuación general de segundo grado

$\bold{A~=~\dfrac{-(-1)~\pm~\sqrt{(-1)^2~-~4(2)(6)}}{2(2)}~=~\dfrac{1~\pm~7}{4}}$

De aquí que  A  =  2          o        A  =  -3/2

Sustituyendo en la primera ecuación

$A~=~2\qquad\qquad-\dfrac{2~+~1}{2}~=~-\dfrac{5B~+~1}{4B}\quad\Rightarrow\quad B~=~1$

$A~=~-\frac{3}{2}\qquad\qquad-\dfrac{-\frac{3}{2}~+~1}{-\frac{3}{2}}~=~-\dfrac{5B~+~1}{4B}\quad\Rightarrow\quad B~=~-\frac{3}{11}$

A  =  2   y   B  =  1,    para que la recta L1 sea paralela a L2 y forme con L3 un ángulo de 45 grados.

Tarea relacionada:

Ángulo entre rectas                        https://brainly.lat/tarea/51631439