Question

un coche de competición se desplaza a una velocidad que. entre las 0 y 2 horas,viene dada por la expresion v(x)=x3-2x2-x donde x es el tiempo en horas y v(x) es la velocidad en cientos de kilometros, hallar en que momento del intervalo (0,2)circula a la velocidad ¿en que periodo gano velocidad y en cuales redujo?¿se detuvo alguna vez?

Answer 1

Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v. Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)

La derivada es: v’(x)=-1.ex + ex .(2-x)= -e x + 2 ex - x .ex = ex - x. ex , sacando factor común e x se llega a: v’(x)=((1-x)ex Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero) Estudiamos v en los alrededores de 1
 
v ‘   + 1     - 2
...........................
y crece decrece

Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo: v(x)= (2-x)ex v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes) v(0)=(2-0).1=2 v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.

espero que lo entiendas 
:)