Question

El cuadrado de un número primo “p”, sumado con el cuadrado del consecutivo a “p” más 80, es un número de tres cifras, igual al cuadrado de otro número primo. Hallar la suma de las cifras de “p”. Desarrollar Planteamiento y Sustentar Solución.

Answer 1

Si P^2 + (P + 1)^2 + 80 = Q^2 = Nº de 3 cifras 

Q puede ser: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. El resto de los primos al cuadrado no da un número de tres cifras. Entonces, desarrollando a ambos miembro de la igualdad P^2 + (P + 1)^2 + 80 = Q^2, nos queda: 

2P^2 + 2P + 1 + 80 = Q^2 

2P . (P + 1) + 81 = Q^2 

Despejando: 

P . (P + 1) = (Q^2 - 81) : 2 (siempre va a ser entero, pues P+1 es par, ya que P no puede valer 2 porque no verifica la igualdad) 

Probemos los posibles valores de Q: 

P . (P + 1) = (11^2 - 81) : 2 = 20 

P . (P + 1) = (13^2 - 81) : 2 = 44 

P . (P + 1) = (17^2 - 81) : 2 = 104 

P . (P + 1) = (19^2 - 81) : 2 = 140 

P . (P + 1) = (23^2 - 81) : 2 = 224 

P . (P + 1) = (11^2 - 81) : 2 = 380 

P . (P + 1) = (11^2 - 81) : 2 = 440 

El único valor de los miembros derechos de las igualdades que puede expresarse como P . (P + 1) es para P = 19 

19 . 20 = 380, luego, la suma de las cifras de P es 10.