Question

2. Dada una esfera de radio R, encontrar las dimensiones del cono circular recto de volumen mínimo que contiene a la esfera. Sugerencia: La generatriz del cono es tangente a la esfera, por lo tanto perpendicular al radio en el punto de corte. Establecer semejanza de triángulos rectángulos.

Answer 1

Debido a que el volumen del cono estará dado en función del radio de la esfera podemos asumir que el radio del cono sera un multiplio del radio de la esfera(es decir, es proporcional) 

En el diagrama adjunto podemos observar que los triangulos OB'A y OC'A son semejantes (comparten 2 lados iguales y el mismo angulo entre ellos)

por lo que podemos decir que el angulo A es un angulo doble.

Ahora bien en cualquiera de los 2 triangulos OB'A Y OC'A el valor de la tangente de$\theta$ es 

 $tan( \theta ) = \frac{1}{a}$

Ademas si conocemos el valor de la tangente del angulo doble podremos expresar la altura del cono en función del radio de la esfera:

$tan( 2\theta) = \frac{2tan( \theta)}{1-tan^2( \theta)}$

conociendo el valor de $tan( \theta)$ sustituimos y tenemos:

$tan( 2\theta) = \frac{2a}{a^2-1}$

luego por trigonometria basica sabemos que la tangente es igual al cateto opuesto entre el adyacente por lo que tenemos que la altura del cono es igual a :
$a * \frac{2a}{a^2-1} = \frac{2a^2}{a^2-1}$

luego para simplificar cálculos hagamos que el radio de la esfera es igual a 1 por lo que finalmente podemos reescribir el volumen del cono como:

$V = \frac{ \pi r^2h}{3} = \frac{ \pi a^2(2a^2)}{3a^2-1}$

por lo que $V = \frac{2 \pi }{3} \frac{a^4}{a^2-1}$ teniendo todo esto en función de a finalmente podemos obtener la derivada e igualar a 0

 con lo que en consecuencia el valor minimo de $a = \sqrt{2}r$ y el de $h = 4r$

por lo que con esta altura y esta constante de proporcionalidad con un radio de una esfera dada se obtiene que son sus valores mínimos.