Una cierta compañía maderera posee un terreno rectangular de 3x4 millas. Si se tala una franja uniforme en los extremos para colocar árboles frutales
a) escribe el área redondante del bosque en función del ancho de la franja para los árboles frutales
B) use la función anterior para determinar el área del busque que quedara después de talar de 0.2 millas de ancho
C) cual sería el dominio de definición y el rango de la función del area
Respuestas
La función que expresa el área redondante (Ar) en función del ancho de la franja para los árboles frutales es:
Ar = 14x - 4x²
Explicación paso a paso:
Dado que el terreno es un rectángulo de 3 millas x 4 millas, su área es el producto de las dimensiones de los lados.
Llamamos x al ancho de la franja, por lo que las dimensiones del rectángulo serán:
Longitud: 4 - 2x millas
Ancho: 3 - 2x millas
Por lo tanto, el área (A) del bosque maderero es el producto de estas dos dimensiones:
A = (3 - 2x)(4 - 2x) ⇒ A = 4x² - 14x + 12
a) Escribe el área redondante del bosque en función del ancho de la franja para los árboles frutales
El área redondante (Ar) será la diferencia entre el área total (At) y el área del bosque maderero (A).
Ar = (3)(4) - (4x² - 14x + 12) ⇒ Ar = 14x - 4x²
Esta es la función que expresa el área redondante (Ar) en función del ancho de la franja para los árboles frutales
b) Use la función anterior para determinar el área del bosque que quedará después de talar de 0.2 millas de ancho
Ar = 14(0.2) - 4(0.2)² = 2.64 millas²
A = At - Ar = 12 - 2.64 = 9.36 millas²
El área del bosque que queda después de talar la franja de 0.2 millas de ancho es de 9.36 millas²
c) ¿Cuál sería el dominio de definición y el rango de la función del área?
Ar = 14x - 4x² para que esta función tenga sentido, x debe ser un valor tal que Ar sea positiva; así que planteamos la siguiente inecuación:
14x - 4x² ≥ 0 ⇒ 2x(7 - 2x) ≥ 0
Hallamos el valor nulo de los factores lineales:
2x = 0 ⇒ x = 0
7 - 2x = 0 ⇒ x = 7/2
Ahora, realizamos un estudio de signos en la recta real:
-∞ x = 0 x = 7/2 +∞
2x (-) (+) (+)
7 - 2x (+) (+) (-)
Al multiplicar los signos de los factores lineales en cada intervalo, observamos que se satisface en el intervalo [0, 7/2], es decir
Dominio de Ar = x ∈ [0, 7/2]
A partir de los valores de x se establece el rango de la función Ar:
Rango de Ar = Ar ∈ [0, 7/4]