Question

La siguiente elipse 25x2 + 16y2 + 150x - 128y - 1119 = 0 tiene centro (h, k) en el punto:

Answer 1

25X² + 16Y² + 150X - 128Y - 1119 = 0

Completo Cuadrados para X

25X² + 150X = 25(X² + 6X)

25[(X² + 6X + 9 - 9)] = 25(X² + 6X + 9) - 225

25(X + 3)² - 225

Ahora para  Y

16Y² - 128Y = 16(Y² - 8Y)

16[(Y² - 8Y + 16 - 16)]

16(Y² - 8Y + 16) - 256

16(Y² - 8Y + 16) = 16(Y - 4)²

16(Y - 4)² - 256

Reescribiendo

 25(X + 3)² - 225 + 16(Y - 4)² - 256 - 1119 = 0

25(X + 3)² + 16(Y - 4)² - 1600 = 0

25(X + 3)² + 16(Y - 4)² = 1600 (Divido todo entre 1600)

[25(X + 3)²]/1600  + [16(Y - 4)²]/1600 = 1

(X + 3)²/64 + (Y - 4)²/100 = 1  Ecuacion de la Elipse

Ya la tengo de la forma
$\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1\:$

Donde: -h = 3; h = -3,  -k = -4, k = 4

Centro (-3 , 4)

a² = 64:  a = 8

b² = 100: b = 10

c² = b² - a²

c² = 100 - 64

c² = 36:  c = 6

Foco: (-3 , 4+/-c)

Foco1: (-3 , 4+6) = (-3 , 10)

Foco2: (-3 , 4 - 6) = (-3 , -2)

Vertice: (-3 , 4+/-b)

Vertice1:(-3 , 4+10) = (-3 , 14)

Vertice2:(-3 , 4 - 10) = (-3 , -6)  

Te anexo la grafica