Question

quiero encontrar los elemnto de la ecuacion de la siguiente elipce 36x²-16y²=576

Answer 1

Si tiene signo menos no es una elipse, es una hipérbola.

Si es una elipse su ecuación es 36 x² + 16 y² = 576

Se busca la forma canónica dividiendo por 576; queda.

x² / 16 + y² / 36 = 1

a es el semieje mayor, vertical = 6
b es el semieje menor, horizontal = 4

c² = a² - b² = 36 - 16 = 20;

c = √20, la semidistancia focal

Focos: F (0, √20); F' (0, - √20)

Se adjunta gráfico.

Saludos Herminio

Answer 2

Primero dividis a ambos lados por 576, para que a la derecha te quede un 1

36x²/576 -16y²/576 = 576/576 = 1

Luego reescribo
La fracción que está multiplicando a x² es 36/576
Puedo pasarla dividiendo si la reescribo como la fracción inversa, es decir
x² *36/576 = x² / (576/36) Al hacer la cuenta queda x²/16
La fracción que multiplica a y² es -16/576 Reescribo
y² *(-16/576)= -y² / (576/16) = -y²/36

x²/16-y²/36 =1

Luego reescribo los denominadores como algo al cuadrado, es decir escribo 16 como 4², 36 como 6²

x²/4² - y²/6² =1

El radio en el eje x es de 4
De esto te das cuenta porque por ejemplo si reemplazas x por 4, entonces te queda 4²/4²-y²/6² =1 es decir 1-y²/6=1 es decir -y²/6=0  y=0
Si reemplazas por x=-4 también te va a dar que y vale cero

Las coordenadas del centro son (0,0) (ya que tenes x² y tenes y², si tuvieras (x-2)² la coordenada en x del centro sería 2, si tuvieras (y+3)² la coordenada en y del centro sería 3, por ejemplo)

Con el signo menos que acompaña al término con y² ves que no es una elipse es una hipérbola

Su radio en x mide 4 entonces ya tenes dos puntos (-4,0) y (4,0)

Como no hay ningún termino con xy entonces no está "girada" es simétrica respecto al eje y, tiene dos ramas una hacía la derecha desde el (4,0) y otra hacia la izquierda desde el (-4,0)

Si tenes (a-b)*(a+b)=a²-b² entonces la ecuación x²/4² - y²/6² =1 se puede reescribir como

(x/4 - y/6)(x/4 + y/6)=1

Para que un producto de dos cosas de un número, una característica es que ninguno de los dos términos del producto puede hacerse cero
Saber esto es la manera de hallar las rectas que jamás tocará la hipérbola
Graficando estas rectas podemos saber a donde se acerca cada vez más la hipérbola y gráficar mejor sus dos ramas

x/4 - y/6=0  o  x/4 + y/6=0    

entonces   y/6=x/4 o y/6=-x/4 ;   y=6x/4 o y= -6x/4   ;   y=3x/2 o y= -3x/2 

es decir las rectas asíntotas son y=+-3x/2