Question

el centro de una hipérbola es el cruce de x+3y= -8 con la recta que pasa por (0,0) y (10,8).
si la ordenada es de 4 y la abscisa de 12, obtener la ecuación de la recta y de la hipérbola (geometría analítica)

Answer 1

Hallemos primero la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (0,0) y (10,8)

Usamos la siguiente ecuacion:

[(X - X1)/(X2 - X1)] = [(Y - Y1)/(Y2 - Y1)]

Donde:  X1 = 0, Y1 = 0, X2 = 10, Y2 = 8

[(X - 0)/(10 - 0)] = [(Y - 0)/(8 - 0)]

X/10 = Y/8:  Y = (8/10)X : Y = (4/5)X Ecuacion de la recta

Ahora tenemos que hallar el punto de cruce de la recta: X + 3Y = -8
y Y = (4/5)X, el cual se producirar cuando X y Y sean iguales en las dos rectas

3Y = -8 - X

Y = -(8/3) - (X/3).

Y = Y:

(4/5)X = -(8/3) - (X/3)

(4/5)X + (1/3)X = -(8/3)

[[(4x3) + (5x1)]/15]X = (-8/3)

(17/15)X = -8/3

X = [-8/3]/[17/15] = -[(15x8)/(3x17)] = -40/17

Reemplazando X = -40/17

Y = (4/5)X

Y = (4/5)(-40/17) = -32/17

El punto de corte se produce en las coordenadas (-40/17 , - 32/17)

El centro de la hiperbola: (-40/17 , -32/17)

 (X - h)²    (Y - k)²
———— - ———— = 1
   a²        b²

Donde: -h = -40/17;  h = 40/17
             
             -k = -32/17; k = 32/17
 
 (X + 40/17)²   (Y + 32/17)²
  -————    -   ———— = 1
   a²                b²

Abscisa 12,  Ordenada 4



(12 + 40/17)²   (4 + 32/17)²
  -————    -   ———— = 1
   a²                b²


     206.00           34.6 
  -————    -   ———— = 1
   a²                b²


[b²(206) - a²(34.6)]/[(a²)(b²)] = 1

206b² - 34.6a² = a²b²