Question

A Daniela le dejaron de tarea hacer un banderín de forma triangular y le dijeron que uno de
sus lados debe medir 110 cm, el ángulo opuesto a ese lado debe ser de 81° y otro de los lados
debe medir 120 cm. ¿Cuánto deberá medir el tercer lado del banderín?

Answer 1

Este problema no tiene solución

No se puede resolver este triángulo

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Se pide hallar el tercer lado de un banderín de forma triangular en donde uno de los lados debe medir 110 centímetros y el ángulo opuesto a ese lado debe ser de 81°, y otro de los lados debe medir 120 centímetros

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del ángulo B (β) que se opone al lado de 120 centímetros

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 110 \ cm }{ sen(81^o ) } = \frac{ 120 \ cm }{sen(\beta ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 120 \not cm \ . \ sen(81^o ) }{110 \not cm } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 120 \ . \ 0.9876883405951 }{110 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 118.52260087141 }{110 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta) = 1.0774781897401 }}$

Como el rango del seno es [-1 , 1] y el valor hallado no se encuentra en este rango, luego este problema no tiene solución

No se puede resolver este triángulo

Para mostrar como se resuelve un triángulo:

Supongamos que el lado opuesto al ángulo de 81° fuese el de 120 centímetros y el otro lado mida 110 centímetros

Hallamos el valor del ángulo B (β) que se opone al lado de 110 centímetros

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 120 \ cm }{ sen(81^o ) } = \frac{ 110 \ cm }{sen(\beta ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 110 \not cm \ . \ sen(81^o ) }{120 \not cm } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 110 \ . \ 0.9876883405951 }{120 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 108.64571746546 }{120 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta) = 0.9053809788788 }}$

Aplicamos la inversa del seno

$\boxed { \bold { \beta = arcsen(0.9053809788788) }}$

$\boxed { \bold { \beta = 64.874634^o }}$

$\large\boxed { \bold { \beta = 64.87^o }}$

El valor del ángulo B (β) es de 64.87°

Hallamos el valor del del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos uno de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo, y hemos hallado el segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 81^o+ 64.87^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 81^o- 64.87^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 34.13^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 34.13°

Hallamos el tercer lado del triángulo (c)

hasta el punto B sobre la costa-

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 120 \ cm }{ sen(81^o ) } = \frac{ c }{sen(34.13^o ) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 120 \ cm \ . \ sen(34.13 ^o ) }{sen(81^o) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 120\ cm \ . \ 0.5610724890695 }{ 0.9876883405951 } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 67.328698688349 }{ 0.9876883405951 }\ cm }}$

$\boxed { \bold { c \approx 68.167959 \ cm }}$

$\large\boxed { \bold { c \approx 68.17 \ cm }}$

Si el problema se hubiese planteado de esta manera el tercer lado del banderín mediría aproximadamente 68.17 centímetros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas