Question

Cierta empresa tiene costos variables de producción, de cierto artículo, de 100 soles por unidad; y costos fijos de producción mensual de 1000 soles. El ingreso I
mensual por la venta de x unidades producidas es de l=400x-15x2 soles. Determine la cantidad de productos y la utilidad máxima.
5 unidades y 500 soles.
10 unidades y 600 soles.
10 unidades y 500 soles.
10 unidades y 750 soles.​

Answer 1

La utilidad U(x) está dada por la diferencia de ingresos menos costos. Esto es:

U(x) = I(x) - C(x)

Los costos C(x) están dados por 100 soles por unidad; y costos fijos de producción mensual de 1000 soles, por tanto:

C(x) = 100x + 1000

Podemos plantear entonces:

U(x) = I(x) - C(x)

U(x) = 400x - 15x² - (100x + 1000)

U(x) = -15x²+300x-1000

Notamos que la función de utilidad U(x) es una parábola de la forma ax² + bx + c donde a<0, por tanto, su máximo valor ocurre en el vértice.

Hallamos la x del vértice, que representa la cantidad de producto para obtener la utilidad máxima:

$x_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-300}{2(-15)} = 10$

Luego la utilidad máxima será:

U(5) = -15(10)²+300(10)-1000

U(5) = -15(100)+300(10)-1000

U(5) = -1500+3000-1000

U(x) = 500

R/ La utilidad máxima es de 500 soles y la cantidad de producto para obtener esta utilidad es de 10 (Opción 3).