Question

Cierta empresa tiene costos variables de producción, de cierto artículo, de 300 soles por unidad; y costos fijos de producción mensual de 1000 soles. El ingreso I mensual por la venta de x unidades producidas es de I=800x-50x2 soles. Determine la cantidad de productos y la utilidad máxima.

Answer 1

La utilidad está dada por la diferencia de ingresos menos costos. Esto es:

U(x) = I(x) - C(x)

Los costos C(x) están dados por 300 soles por unidad; y costos fijos de producción mensual de 1000 soles, por tanto:

C(x) = 300x + 1000

Podemos plantear entonces:

U(x) = I(x) - C(x)

U(x) = 800x - 50x² - (300x + 1000)

U(x) = -50x²+500x-1000

Notamos que la función de utilidad U(x) es una parábola de la forma ax² + bx + c donde a<0, por tanto, su máximo valor ocurre en el vértice.

Hallamos la x del vértice, que representa la cantidad de producto para obtener la utilidad máxima:

$x_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-500}{2(-50)} = 5$

Luego la utilidad máxima será:

U(5) = -50(5)²+500(5)-1000

U(5) = -50(25)+500(5)-1000

U(5) = -1250+2500-1000

U(x) = 250

R/ La utilidad máxima es de 250 y la cantidad de producto para obtener esta utilidad es de 5

Answer 2

La cantidad de productos que debe vender  para que la empresa genere una utilidad máxima es:

• 5 unidades
• Ganancia máxima =  250 soles

¿Qué es la ganancia?

La ganancia se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.

G = I - C

Siendo:

• Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.                                                                          I = p × q
• Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.                                                                                                         C = Cf + Cv

¿Cómo se obtiene los máximos y mínimos en una función?

Es la aplicación de derivada una y dos veces hasta para obtener los puntos máximos y mínimos de la función.

• Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico hay un mínimo.
• Si la segunda derivada es negativa en el punto crítico hay un máximo.

¿Cuál es la cantidad de productos y la utilidad máxima?

La ganancia es la diferencia entre ingresos y costos:

Definir

• x: unidades de producto

Costos

• Cf = 1000
• Cv = 300x

Sustituir;

C = 1000 + 300x

Ingresos

I = 800x - 50x²

Sustituir C e I en G;

G(x) = 800x - 50x² - (1000 + 300x)

G(x) = 800x - 50x² - 1000 - 300x

G(x) = - 50x² + 500x - 1000

Aplicar primera derivada;

G'(x) = d/dx(- 50x² + 500x - 1000)

G'(x) = -100x + 500

Igualar a cero;

-100x + 500 = 0

100x = 500

x = 500/100

x = 5

Aplicar segunda derivada;

G''(x) = d/dx ( -100x + 500)

G''(x) = -100    Es un máximo.

Sustituir x=5 en G(x);

G(max) = - 50(5)² + 500(5) - 1000

G(max) = 250 soles

Puedes ver más sobre el cálculo de utilidades o ganancias aquí: https://brainly.lat/tarea/59043121