Question

problemas de aplicacion maximos y minimos

1 hallar dos numeros cuyo producto sea 16 y su suma sea minima

2La suma de dos numeros positivos sea ( a ), calculando los numeros de manera que el producto de uno de ellos por el cuadardo de otro sea maximo

Answer 1

Para el primer problema
Si esos dos números son x e y, entonces como su producto es 16, xy=16 donde ninguno de ellos puede ser cero, luego y=16/x 

La suma de ambos número es x+y es decir x+16/x
La función de la suma es f(x)=x+16/x

Quiero hallar su valor mínimo
Para hallar sus puntos críticos (los cuales pueden ser mínimos o máximos) derivo esta función y luego la igualo a cero

f(x)=x+16*x^(-1)   luego su derivada es f'(x)=1+16*(-1)x^(-2)  es decir f'(x)=1-16/x²

Igualo a cero la derivada  f'(x)=0   1-16/x² = 0   1=16/x²    x²=16
Luego x=4 o x=-4

Podría hallar la segunda derivada de mi función (es decir derivar la derivada) y analizando su signo ver si estos puntos son máximos, mínimos o ninguna de las dos Entonces

f'(x)=1-16x^(-2)   f''(x)=0-16*(-2)*x^(-3)   f''(x)=32/x³

Para x=4 la segunda derivada es 32/4³ lo cual es positivo Entonces en x=4 mi función tiene un mínimo

Para x=-4 la segunda derivada es -32/4³ lo cual es negativo Entonces en x=-4 mi función tiene un máximo

Como quiero que la función suma de lo mínimo posible entonces elijo x=4 Luego y=16/x   y=4   Los números son 4 y 4

Para el 2do problema
La suma de dos números positivos es "a" Supongo que a es un número (una constante) Entonces x+y (la suma de los números) es a     x+y=a
Los números son positivos entonces a también

El producto de uno de ellos por el cuadrado del otro es por ejemplo yx²
Quiero que esta función sea mínima Reemplazo en ella el valor de y
Me queda (a-x)*x² es decir f(x)=ax²-x³

Quiero hallar el máximo de esa función Entonces derivo e igualo a cero la derivada

f'(x)=a*2x-3x²   f'(x)=0 si y solo si a*2x-3x²=0  x(2a-3x)=0 Entonces x=0 o
2a-3x=0 es decir 2a=3x   x=2a/3

Hallo la segunda derivada f''(x)=2a-3*2x   f''(x)=2a-6x
Para x=0 f''(0)=2a la 2da derivada da positivo Es decir que tengo un mínimo
Para x=2a/3  f''(2a/3)=2a-6*2a/3 = 2a-4a=-2a  Como da negativo en x=2a/3 la función tiene un máximo que es lo que buscaba

Luego, x=2a/3    y=a-x entonces y=a-2a/3  y=a/3

Verifico que la suma de los números es a
Luego los números, son 2a/3  y  a/3 con a positivo