Question

Determina la Ecuación Ordinaria de la Elipse de Centro en (2,-3), un Foco F(-1,-3) y semieje menor igual a 4 unidades.

Answer 1

Se trata evidentemente de una elipse con centro fuera del origen y por las coordenadas del foco es una elipse horizontal.  Los tres datos más importantes de una elipse son conocer los valores del 1) Centro. 2) Vértices y si es horizontal o Vertical.El centro esta fuera del origen con las siguientes coordenadas:C = (2, -3)  como el centro se denomina como h, k por lo tanto:h = 2   k = -3La distancia de un foco al centro de los ejes auxiliares es 3, por lo tanto:c = 3El semieje menor es = 4 unidades, este se calcula con la siguiente fórmula2b = Semieje menor: 2b = 4   Despejamos b y el 2 que esta multiplicando pasa a dividir   b = 4  = 2          2por lo tanto b = 2Para obtener el valor de a, empleamos el teorema de pitagorasa² = c² + b²a² = 3² + 2²a² = 9 + 4 = 13a = √13 = 3.605 o lo dejamos en 3.6, dependiendo de las décimas que te pidan.La ecuación canónica u ordinaria de la elipse es asi:  (x - h)²  +  (y - k)²  = 1     a²             b²Por comparación de los valores a, b, h y k que obtuvimos, la ecuación es: 
(x - 2)²  +  (y + 3)²  = 1    
  13              4

a partir de aquí se pasa a la fórmula general:

4 (x - 2)² + 13 (y + 3)² = 52  Igualas a cero NOTA: (4 por 13 = 52)
4 (x - 2)² + 13 (y + 3)² - 52 = 0  Desarrollas los binomios al cuadrado
4 (x² - 4x + 4) + 13 (y² + 6y + 9) - 52 = 0  Aplicar la propiedad distributiva y la ley de los signos en la multiplicación en cada caso

4x² - 16x  + 16 + 13y² + 78y + 117 - 52 = 0

Acomodas de acuerdo a la ecuación de las cónicas que es:

    Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0  NOTA: F representa todos los números que no tienen variable o letra


   4x² + 13y² - 16x + 78y + 16 + 117 - 52 = 0   (16 + 117 - 52 = 0)
                                                                           (133 - 52 = 0)
                                                                                   (81 = 0)

4x² + 13y² - 16x + 78y + 81 = 0  Ecuación general.

Otros datos:

Lados rectos:

LR = 2b² 
          a
LR = 2(2)²
         √13
LR = 2(4) 
        √13
LR =  8      = 2.218  Por lo tanto tu recta focal abrira 1.109.
       √13

Excentricidad: e =   c      =    3  
                             a          √13

Longitud del semieje mayor.  2a  = 2(√13) = 7.211
Longitud del semieje menor.  2b =  2(2) = 4
Longitud del eje focal.           2c =  2(3) = 6

Coordenadas:
Vértices
V₁ (h + a,     k)           V₂ (h - a,      k)
     (2 +√13, -3)               (2 - √13,  -3)
 V₁ (5.6,   - 3)             V₂ (-1.6,  -3)

Focos:

F₁ (h + c,  k)      F₂ (h - c,  k)
    (2 + 3,  -3)          (2 - 3,  -3)
F₁ (5,  -3)           F₂ (-1,  -3)

Vértices del semieje menor.

B₁ (h,  k + b)     B₂ (h,  k - b)
     (2,  -3 + 2)   B₂ (2,  -3 - 2)
B₁ (2,  -1)         B₂ (2,  - 5)

Si lo gráficas podrás darte cuenta que los valores son los mismos.

¿Como obtener el valor de √13 en una recta, para poder ubicarla en tu gráfica de este ejercicio?

2 I.             I
1 I              I
   I________I__I____
       1   2   3   √13 = 3.605
  Trazas una diagonal del 3 hacia el 2 y obtendrás una hipotenusa. abres tu compás con la medida de la hipotenusa y marcas en tu linea horizontal (o de la x) y ese es el valor de √13