Question

Escriba la ecuación general de la elipse que tiene como centro el punto (−1,2) , el eje
menor mide 4 horizontalmente y el eje mayor mide 6.

Answer 1

La ecuación general de la elipse está dada por:

$\large\boxed{ \bold{ \frac{(x+1)^{2} }{4 } + \frac{(y - 2)^{2} }{9 } = 1 }}$

Elipse

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Por lo tanto la distancia desde cualesquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.

Solución

Dado que en la elipse propuesta el eje menor mide horizontalmente 4 unidades, y el eje mayor mide verticalmente 6 unidades

Luego se trata de una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje Y (eje de ordenadas)

Por lo tanto se tiene una elipse vertical fuera del origen

La forma de la ecuación general de una elipse vertical está dada por:

La forma estándar de una elipse requiere igualar el lado derecho de la ecuación a  1

$\large\boxed{ \bold{ \frac{(x -h)^{2} }{b^{2} } + \frac{(y - k)^{2} }{a^{2} } = 1 }}$

$\bold{(h,k)} \ \ \ \large\textsf{Coordenadas x e y del centro de la elipse }$

$\bold{ b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de ordenadas o Semieje menor }$

$\bold{ a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de abscisas o Semieje mayor}$

Donde

Sabemos que la elipse tiene como centro el punto:

$\boxed{\bold{C (-1, 2) \ (h, k) }}$

Donde h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen.

Para este caso el centro de la elipse se encuentra fuera del origen

Hallamos el semieje menor de la elipse

Dado que conocemos que el eje menor horizontal (2a) mide 4 unidades

Planteamos

$\boxed { \bold{ 2b = 4 }}$

$\boxed { \bold{ b = \frac{4}{2} }}$

$\large\boxed { \bold{ b = 2 \ unidades }}$

Hallamos el semieje mayor de la elipse

Dado que conocemos que el eje menor vertical (2a) mide 6 unidades

Planteamos

$\boxed { \bold{ 2a = 6 }}$

$\boxed { \bold{ a = \frac{6}{2} }}$

$\large\boxed { \bold{ a = 3 \ unidades }}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma de la ecuación general de una elipse vertical

$\large\boxed{ \bold{ \frac{(x -h)^{2} }{b^{2} } + \frac{(y - k)^{2} }{a^{2} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{(x -(-1))^{2} }{2^{2} } + \frac{(y - 2)^{2} }{3^{2} } = 1 }}$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{(x+1)^{2} }{4 } + \frac{(y - 2)^{2} }{9 } = 1 }}$

Habiendo hallado la ecuación general de la elipse