Question

ayuda para resolver este ejercicio de limites que sea con desarrollo para poder aprender
sea f(x) = {-x^2 si x < -1
1/x si -1 ≤ x ≤ 0
x+2 si x > 0
determinar si existe lim x→0 f(x) y lim x→−1 f(x)

Answer 1

Para que un límite exista tiene que valer lo mismo tanto si me acerco al valor por derecha como si me acerco por izquierda
Es decir, si queres ver por ejemplo cuanto vale una función cuando x se acerca a 0, tenes que fijarte cuanto vale cuando te acercas a cero por los positivos como 0,001 o 0,00003 etc
Pero la definición de límite dice que también te tenes que fijar que pase lo mismo con la función cuando te acercas a x por izquierda es decir por los negativos, para los x   -0,00001, -0,001 etc

En este caso te conviene ver los límites por derecha y por izquierda por separado y luego ver si coinciden

Por ejemplo, para x=0 y para ver el límite cuando x tiende a cero por derecha
Entonces estás viendo cuanto vale la función f(x) cuando x toma valores muy cercanos a cero PERO mayores que cero
Entonces tenes que usar la definición de tu función que dice "x+2" porque es la que vale para x mayor a cero
El hecho de que x tienda a cero por derecha se simboliza x tiende a 0+

lim x+2                                = 0+2 = 2
(xtiendeaceroporderecha) 

Ahora para ver el límite cuando x se acerca a 0 por izquierda es decir por el lado de los negativos, usas la definición "1/x" Entonces te queda

lim 1/x                                = -∞
(xtiendeaceroporizquierda) 

Como x toma valores cercanos a cero ese límite da infinito
Como toma valores negativos da menos infinito
Si no estas segura podes probar con algunos valores 1/(-0,0001) = -10000
por ejemplo, vemos que se hacen números cada vez más grandes pero negativos cuando x se acerca a cero, ese límite da menos infinito

Como los límites por derecha y por izquierda dan cosas distintas, no existe el límite cuando x tiende a cero de tu función, ya que por definición el límite tiene que tener un único valor desde donde yo me acerque y en este caso si me acerco por los positivos da 2 y si me acerco por los negativos da menos infinito

Para ver el límite cuando x tiende a -1 es lo mismo
Si x tiende a -1 por derecha Entonces toma valores un poco más grandes que -1 por ejemplo -0,9999 La definición que uso es 1/x porque x ≥ -1

lim 1/x                                = -1
(xtiendea(-1)porderecha) 

Cuando x se acerca a -1 por izquierda es decir toma valores como -1,0001 entonces uso -x², ya que es para x menores a -1

lim  -x²                                = -(-1)²= -1
(xtiendea(-1)porizquierda)

Como dio lo mismo, el límite cuando x tiende a -1 de f(x) es -1