Question

AYUDA URGENTE CON EJERCICIO DE CALCULO
Considere la función definida por:
f(x) = {x−2/x^2−4 ≠ 2
                 4         = 2
Analice la continuidad de f en el punto x = 2. Si es discontinua, clasifique la
discontinuidad, y si es reparable, indique como se repara.

Answer 1

Para que una función sea continua en un punto (x = 2), debe cumplir 3 condiciones:


a) existe f(a)


En este caso, f(2) = 4 ; por lo tanto existe


b) existe el lim f(x)
                    x→2

lim f(x) = lim     (x-2)/(x^2 -4)
   x→2      x→2


lim f(x) = lim  (x - 2) / (x - 2) (x + 2)
  x→2       x→2


lim f(x) = lim  1 / (x + 2)
  x→2      x→2


lim f(x) = 1 / (2 + 2)
   x→2


lim f(x) = 1/4 ;     Sí existe el límite
   x→2


c) lim f(x) = f(a)
     x→a


lim f(x) = f(2)
  x→2


1/4 ≠ 4 


La función es discontinua porque no se cumple la 3era condición.


La discontinuidad es evitable porque los límites laterales existen:


Lim f(x) = Lim f(x) = L = 1/4
  x→a-       x→a+ 


Y para que se discontinuidad evitable:

f(a) = L

4 ≠ 1/4


Por lo que es reparable la función f(x) para que sea evitable haciendo un salto finito en x = 2.


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