Question

Calcular el valor de √x+34; sabiendo que:

Answer 1

Para mayor facilidad simplifiquemos el lado izquierdo:

$\dfrac{ \sqrt{17 + 2 \sqrt{72} } }{ \sqrt{3 + \sqrt{8} } }$

En este problema veo ciertas secuencias repetitivas, por ejemplo, el 2√ de algo está presente, por lo que podemos plantear la forma general del binomio al cuadrado:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Vayamos con el numerador:

$\sqrt{17 + 2 \sqrt{72} }$

El 72 se puede escribir como 8×9:

$\sqrt{17 + 2 \sqrt{8 \times 9} }$

Aplicamos cierta ley de radicales:

$\bf{ \sqrt[n]{ a \times b } = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} }$

$\sqrt{17 + 2 \sqrt{8} \sqrt{9} }$

En nuestro caso a = √8, y b = √9

Si elevamos al cuadrado tendremos:

a² = 8, b² = 9

Esto lo estoy haciendo de acuerdo a la fórmula del trinomio que mencioné al inicio.

Da la casualidad que si sumas 8 + 9 nos da 17

Entonces, podemos ponerlo como:

$\sqrt{ \underbrace{8}_{ {a}^{2} } + 2 \underbrace{\sqrt{8} \sqrt{9}} _{2ab} + \underbrace{9}_{ {b}^{2} } }$

Entonces, podemos invertir la fórmula, ahora apliquemoslo así:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Entonces:

$\sqrt{( \sqrt{8} + \sqrt{9} ) {}^{2} }$

Se simplifica la raíz cuadrada cuadrada con el exponente al cuadrado, quedando:

$\sqrt{8} + \sqrt{9}$

Vayamos con el denominador:

$\sqrt{3 + \sqrt{8} }$

El 8 se puede descomponer como 2³, a su vez, al ponerlo en el radical se anotaría como 2²×2, aplicas la raíz y la propiedad que te mencioné y en el 2² se simplifica con la raíz cuadrada, pero en el otro 2 no:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2} }$

En este caso aplicamos lo mismo, sólo que incluiremos algo más:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2} \sqrt{1} }$

√1 no cambia nada, sigue siendo 1, pero así podemos ver que:

a = √2 -- > a² = 2

b = √1 -- > b² = 1

Al sumarlos nos da 3, entonces:

$\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} \sqrt{1} + 1 } \\ \sqrt{( \sqrt{2} + 1) {}^{2} }$

Pasa lo mismo, se simplifica como en el numerador, queda:

$\sqrt{2} + 1$

Juntando todo queda:

$\dfrac{2 \sqrt{2} + 3 }{ \sqrt{2} + 1}$

Aquí aproveché y como estaba el √8 que ya obtuvimos lo sustituí, luego √9 es 3.

Usamos el conjugado:

$\dfrac{2 \sqrt{2} + 3}{ \sqrt{2} + 1} \times \dfrac{ \sqrt{2} - 1}{ \sqrt{2} - 1} \\ \dfrac{(2 \sqrt{2} + 3)( \sqrt{2} - 1) }{( \sqrt{2} + 1)( \sqrt{2} - 1) }$

En el numerador se aplica propiedad distributiva, pero en el denominador se usaría diferencia de cuadrados, que es de la forma:

(a + b)(a - b) = a² - b²

En nuestro caso:

(√2 + 1)(√2 - 1) = 2 - 1 = 1

Entonces:

$(2 \sqrt{2} + 3)( \sqrt{2} - 1) \\ 2(2) - 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 3 \\ 4 - 3 + 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \\ 1 + \sqrt{2}$

Tendremos pues:

$1 + \sqrt{2} = \sqrt{x + 2 \sqrt{128} } - 7$

128 se puede escribir como 2⁷, del cual se expresa como 2⁶×2¹, al efectuar el radical nos queda 2³√2, pero como hay 2 multiplicando afuera sería 2⁴√2, o mejor dicho 16√2

$1 + \sqrt{2} = \sqrt{x + 16 \sqrt{2} } - 7$

Pasamos el - 7 al lado izquierdo:

$1 + 7 + \sqrt{2} = \sqrt{x + 16 \sqrt{2} } \\ 8 + \sqrt{2} = \sqrt{x + 16 \sqrt{2} }$

Para mayor comodidad:

$\sqrt{x + 16 \sqrt{2} } = 8 + \sqrt{2}$

Elevas al cuadrado ambos miembros:

$x + 16 \sqrt{2} = {8}^{2} + 2(8)( \sqrt{2} ) + ( \sqrt{2} ) {}^{2} \\ x + \not16 \sqrt{2} = 64 + \not16 \sqrt{2} + 2 \\ \bf{x = 66}$