Question

1.- En un concurso de ciclismo juvenil, Alejandro y Raúl parten a la vez de un punto P y se desplazan en línea recta con velocidades constantes y siguiendo trayectorias perpendiculares entre sí. Se sabe que la velocidad de Alejandro es mayor que la de Raúl en 7 km/h y que, después de 3horas de haber partido, la distancia que los separa es de 51km.
a)¿Cuál es la distancia recorrida por cada uno?
b) ¿con qué velocidad se desplazó cada uno?

Answer 1

Alejandro recorrió 45 km y Raúl 24 km. La velocidad de Alejandro fue de 15 km/h y la de Raúl 8 km/h.

Denotemos:

• $v_A$ → Velocidad de Alejandro
• $v_R$ → Velocidad de Raúl
• $v_A - v_R = 7\ km/h$ → Se sabe que la velocidad de Alejandro es mayor que la de Raúl en 7 km/h

La distancia recorrida por cada uno después de tres horas es:

$d_A = 3v_A$

$d_R = 3v_R$

Y la distancia que los separa, dado que partieron con trayectorias perpendiculares, es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son las distancias recorridas, esto es:

$d^2 = d_A^2 + d_R^2$

$51^2 = (3v_A)^2 + (3v_R)^2$

$(3v_A)^2 + (3v_R)^2 = 51^2$

Agrupamos y resolvemos por sustitución:

$v_A - v_R = 7$

$(3v_A)^2 + (3v_R)^2 = 51^2$

Despejamos $v_A = 7+v_R$ y sustituimos en la segunda ecuación:

$(3(7+v_R))^2 + (3v_R)^2 = 51^2$

$9(49+14v_R+v_R^2) + 9v_R^2 = 2601$

$9v_R^2+126v_R+441 + 9v_R = 2601$

$18v_R^2+126v_R+441=2601$

$18v_R^2+126v_R-2160=0$

Resolvemos usando la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado para ecuaciones generales de la forma ax² + bx + c = 0:

$v_{R_1,\:R_2}=\dfrac{-126\pm \sqrt{126^2-4\cdot \:18\left(-2160\right)}}{2\cdot \:18}$

$v_{R_1,\:R_2}=\dfrac{-126\pm \:414}{2\cdot \:18}$

$v_{R_1}=\dfrac{-126+414}{2\cdot \:18},\:v_{R_2}=\dfrac{-126-414}{2\cdot \:18}$

$v_{R_1}=8,\:v_{R_2}=-15$

Tomamos la solución positiva $v_R = 8\ km/h$ y encontramos $v_A$:

$v_A = 7+v_R$

$v_A = 7+8$

$v_A = 15\ km/h$

a) ¿Cuál es la distancia recorrida por cada uno?

$d_A = 3v_A = (3\ h)( 15\ km/h) = 45\ km$

$d_R = 3v_R = (3\ h)( 8\ km/h) = 24\ km$

R/ Alejandro recorrió 45 km y Raúl 24 km.

b) ¿con qué velocidad se desplazó cada uno?

R/ Alejandro se desplazó con una velocidad de 15 km/h y Raúl a 8 km/h.