Question

Integral de (1/1+2x^2)dx

Answer 1

Hola,

Sea la integral del tipo :

$\int\limits { \frac{dx}{1+ax^{2}} } \,$

La idea es llegar a la conocida integral de arcotangente, que es :

$\int\limits { \frac{dx}{1+x^{2}} } \, = arctg(x) + C$

Para esto , hacemos una sustitución, decimos que:

u² = ax²  => u = √a x 

Derivando,

du = √a dx

Sustituyendo en la integral :

$\int\limits { \frac{dx}{1+ax^{2}} } \, = \frac{1}{ \sqrt{a} } \int\limits { \frac{du}{1+u^{2}}} } \,$

Ahora bien, resolvemos la integral:


$\frac{1}{ \sqrt{a} } \int\limits { \frac{du}{1+u^{2}}} } \, = \frac{1}{ \sqrt{a} } arctg(u) + C$

Volviendo a la variable original, tenemos que :

$\boxed{\int\limits { \frac{dx}{1+ax^{2}} } \, = \frac{1}{ \sqrt{a} } arctg( \sqrt{a}x) + C }$

En este caso particular, a = 2  por lo tanto la integral es:

$\boxed{\int\limits { \frac{dx}{1+2x^{2}} } \, = \frac{1}{ \sqrt{2} } arctg( \sqrt{2}x) + C }$

Salu2 :).