Question

Un avión vuela de la ciudad A a la B, ubicada a 100 mi de distancia: después, cambia su rumbo 60° y se dirige a la ciudad C. Si la distancia entre las ciudades B y C es de 250 mi, ¿cuál es la distancia que hay entre A y C?

Answer 1

Respuesta:

312.25mi

Explicación paso a paso:

La manera de resolverlo, es por medio de vectores.Recordando, los vectores se representan por medio de 2 componentes: X y Y:

$V=<V_x,V_y> u$

*Donde Vx es la componente en x, y es el recorrido que hace el vector a lo largo del eje x; Vy es la componente y, y es el recorrido que hace el vector a lo largo del eje y; y u son las unidades del vector. En tu caso serías millas, ya que el problema habla sobre distancias.

1)El primer trayecto, es un desplazamiento horizontal a la derecha, es decir a lo largo del eje x positivo. Por lo tanto el vector que describe el trayecto de A a B es:

$AB=V_1=<100,0>mi$

*Observa que la componente en x del vector son las 100mi, porque únicamente se movió en esa dirección. Y la componente en y es cero, porque no hizo un desplazamiento vertical. Y las unidades son millas [mi]

2)Para el segundo trayecto (de B a C), el avión se movió 260 millas a 60° respecto de la horizontal, es decir que se movió tanto en la dirección de x y y. Para calcular el valor de las componentes, realizamos las siguientes operaciones:

$V_x=|V|*Cos(\theta)\\V_y=|V|*Sen(\theta)$

*Donde |V| es la magnitud del vector (en este caso las 250mi); y θ es el ángulo medido desde la horizontal hasta el vector (es decir los 60°). Es decir, que si sustituimos encontramos las componentes del vector de B a C.

$V_x=250(Cos(60))=125\\V_y=250(Sen(60))=125\sqrt{3}$

$V_2=<125,125\sqrt{3} >mi$

Ahora, para hallar la distancia total, sumamos las componentes correspondiente en x y componentes en y respectivamente, de todos los vectores de los trayectos:

$V_R=V_1+V_2\\V_R=<100+125,0+125\sqrt{3} >mi\\V_R=<225,125\sqrt{3} >mi$

*VR es el vector resultante de sumar todos los vectores que encontramos.

Por último, calculamos el el módulo o magnitud del vector resultante, por medio de la siguiente fórmula:

$|V|=\sqrt{V_X^{2}+V_Y^{2}}$

*La raíz, de la suma de las componentes cuadradas. Entonces, sustituyendo:

$|V_R|=\sqrt{(225)^{2}+(125\sqrt{3} )^{2}} \\|V_R|=\sqrt{97500} \\|V_R|=312.25mi$

Es decir, el recorrido de A a C es de 312.25mi. Espero te sirva! Suerte!