Question

Favor ayuda con esta:Calcular el área encerrada entre las parábolas f(x) = x^2 - 4 y g(x) = -x^2 +4?

Answer 1

Primero tenes que buscar los puntos de intersección
Para eso igualas f(x)=g(x)    x²-4=-x²+4    2x²=8   x²=4  x=2 y x=-2

Entre esos dos valores, la función "techo" es decir la que está más arriba es -x²+4 Entonces para hallar el área encerrada resolves la siguiente integral
donde en el integrando restas la función "techo" menos la función "piso" es decir la que queda más abajo Y los límites de integración serían -2 y 2 porque los valores de x para el área que buscas están entre los puntos de intersección de las funciones, luego

$\int\limits^2_{-2} {- x^{2} +4-( x^{2} -4)} \, dx = \int\limits^2_{-2} {- x^{2} +4- x^{2} +4} \, dx = \\ \int\limits^2_{-2} {- 2x^{2} +8} \, dx$

La integral indefinida (sin reemplazar por -2 y 2) da

$-2 \frac{ x^{3} }{3} +8x$

Evaluada en 2 da -2*8/3+8*2 = -16/3+16
Evaluada en -2 da 2*8/3-16 = 16/3-16

Luego hago la resta "integral evaluada en 2" - "integral evaluada en -2"
Queda -16/3+16 - (16/3-16) = -16/3+16 -16/3+16 = -32/3 +32

El denominador común es 3  entonces queda -32/3+96/3 = 64/3 es el área encerrada entre las curvas Aproximadamente 21,33