Question

Álgebra Lineal como resolver este problemaDeterminar las ecuaciones paramétricas del plano que contiene al punto P(-3,1,4) y a la recta de ecuación,(x-1)/3= (y+1)/2=z-4

Answer 1

Para hallar la recta
Elijo en función de que variable voy a dejar despejadas todas mis ecuaciones por ejemplo en función de y
Entonces de la igualdad (x-1)/3= (y+1)/2 voy despejar x
2(x-1)=3(y+1)   ;  2x-2=3y+3   ;    2x=3y+5   ;   x=3y/2+5/2
Y de la igualdad (y+1)/2=z-4 voy a despejar z
z=(y+1)/2 +4=y/2+1/2+1/4   ;   z=y/2+3/4
Entonces los puntos (x,y,z) que pertenecen a mi recta tienen la forma
(x,y,z)=(3y/2+5/2, y, y/2+3/4) para escribirla de forma parametrica la escribo como la suma de y * un vector + un vector que va a ser el punto de paso

(x,y,z)=(3y/2+5/2, y, y/2+3/4) = y*(3/2, 1, 1/2) + (5/2, 0, 3/4)

Entonces la recta es β(3/2, 1, 1/2) + (5/2, 0, 3/4), β es cualquier real

También quiero que el plano contenga al punto P

Para formar un plano necesitas dos vectores directores y un punto de paso
Como punto de paso podemos usar a P, y como uno de los vectores directores podemos usar el que ya tenemos de la recta (3/2, 1, 1/2) pero falta uno más

Para encontrarlo hay que restar 2 puntos del plano por ejemplo P-(5/2, 0, 3/4) (este era el punto de paso de la recta que sabemos que esta en el plano) Entonces la resta queda (-3,1,4) - (5/2, 0, 3/4) = (-11/2, 1, 13/4) es otro vector director para el plano

Luego, la ecuación del plano:

β(3/2, 1, 1/2) + α(-11/2, 1, 13/4) + (-3,1,4), β y α son cualquier real