Question

encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determienates( recuerde: A-1=1/detA*AdjA)

A=(-2 5 -1

       3 0 -4

      3 1 -5

Answer 1

Si:
$A = \left(\begin{array}{ccc}-2&5&-1\\3&0&-4\\3&1&-5\end{array}\right)$

Calcular:  $A^{-1}$


NOTA:

$A^{-1} = \frac{1}{\|A\|} * Adj(A)$


• Solución:

i) Calculamos el determinante de la matriz A.( por el metodo de Jacobi: )

Nota:  Solo poseen inversa , aquellas matrices cuadradas "no singulares" (determinante diferente de 0), además esta es única.

$\|A\| = \left|\begin{array}{ccc}-2&5&-1\\3&0&-4\\3&1&-5\end{array}\right|\ ^{F_{12}(1)}_{F_{23}(-1)} = \left|\begin{array}{ccc}1&5&-5\\3&0&-4\\0&1&-1\end{array}\right|\ ^{F_{21}(-3)}$

$\|A\| =\left|\begin{array}{ccc}1&5&-5\\0&-15&11\\0&1&-1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}-15&11\\1&-1\end{array}\right| = (-15)(-1) - (1)(11) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to \|A\| = 4$


ii) Calculamos la matriz de cofactores de la matriz A, denotado por:  cof (A) 


$Cof(A) = (\alpha _{ij})_{nxn} \ \ \ \ \ / \alpha _{ij}(-1)^{i+j} M_{ij}$


⇒ $\alpha _{11} = (-1)^{1+1} * \left|\begin{array}{cc}0&-4\\1&-5&\end{array}\right| = 4$

⇒ $\alpha _{12} = (-1)^{1+2} * \left|\begin{array}{cc}3&-4\\3&-5&\end{array}\right| = 3$

⇒ $\alpha _{13} = (-1)^{1+3} * \left|\begin{array}{cc}3&0\\3&1&\end{array}\right| = 3$

⇒ $\alpha _{21} = (-1)^{2+1} * \left|\begin{array}{cc}5&-1\\1&-5&\end{array}\right| = 24$

⇒ $\alpha _{22} = (-1)^{2+2} * \left|\begin{array}{cc}-2&-1\\3&-5&\end{array}\right| = 13$

⇒ $\alpha _{23} = (-1)^{2+3} * \left|\begin{array}{cc}-2&5\\3&1&\end{array}\right| = 17$

⇒ $\alpha _{31} = (-1)^{3+1} * \left|\begin{array}{cc}5&-1\\0&-4&\end{array}\right| = -20$

⇒ $\alpha _{32} = (-1)^{3+2} * \left|\begin{array}{cc}-2&-1\\3&-4&\end{array}\right| = -11$

⇒ $\alpha _{33} = (-1)^{3+3} * \left|\begin{array}{cc}-2&5\\3&0&\end{array}\right| = -15$


Por consiguiente:

$cof (A) = \left(\begin{array}{ccc}4&3&3\\24&13&17\\-20&-11&-15\end{array}\right)$

iii) Calcular la matriz adjunta de A :

• Recuerda que:  $\{cof(A)\}^T = Adj(A)$

De tal modo:

$Adj(A) = \left(\begin{array}{ccc}4&24&-20\\3&13&-11\\3&17&-15\end{array}\right)$


iv)  Por último, calculamos la matriz inversa , denotado por: A⁻¹


$A^{-1} = { \frac{1}{4}} * \left(\begin{array}{ccc}4&24&-20\\3&13&-11\\3&17&-15\end{array}\right) \ \ \ \ \ \ A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}1&6&-5\\ \\ \frac{3}{4} & \frac{13}{4} & -\frac{11}{4}\\ \\ \frac{3}{4} & \frac{17}{4} & -\frac{15}{4} \end{array}\right)$



Eso es todo!!! uff :)