Question

Hallar la ecuación general de la recta L1 que pasa por el punto (-1 ; 2) y es perpendicular a la recta L2 : y = 6x + 11. Además grafique la recta L1

Answer 1

La ecuación general de la recta L1 que pasa por el punto P (-1,2) y que es perpendicular a la recta L2 está dada por:

$\large\boxed {\bold { x +6y - 11 = 0 }}$

Solución

Se pide hallar la ecuación general de la recta L1 que pasa por el punto (-1,2) y es perpendicular a la la recta L2

Siendo la recta L2

$\large\boxed {\bold { y= 6x+11 }}$

La cual está expresada en la forma pendiente punto de intercepción

También llamada forma principal o explícita

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

$\large\boxed {\bold { y= 6x+11 }}$

Donde denotamos a la pendiente de la recta L2 dada como $\bold { m_{2} }$

$\large\boxed{\bold {m_{2} = 6 }}$

La pendiente de la recta L2 es 6

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular para la recta L2

Denotaremos a la pendiente de la recta L1 como  $\bold { m_{1} }$

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original $\bold { m_{2} }$

$\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{ m_{2} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos}$

$\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ 6 } }}$

La pendiente de una recta perpendicular a la recta L2 es -1/6

Hallamos la ecuación de la recta L1 que pasa por el punto P (-1, 2)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta L1 solicitada la cual es perpendicular a L2

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1  son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (-1,2) tomaremos x1 = - 1 e y1 = 2

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { - \frac{1}{6} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (-1,2) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (2) = -\frac{1}{6} \ . \ (x - (-1) )}}$

$\boxed {\bold { y - 2 = -\frac{1}{6} \ . \ (x +1 )}}$

Reescribimos la ecuación de la recta L1 en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y - 2 = -\frac{1}{6} \ . \ (x +1 )}}$

$\boxed {\bold { y - 2 = -\frac{x}{6} \ - \frac{1}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{x}{6} \ - \frac{1}{6} \ +\ 2 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{x}{6} \ - \frac{1}{6} \ +\ 2\ . \ \frac{6}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{x}{6} \ - \frac{1}{6} \ + \ \frac{12}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{x}{6} \ + \frac{11}{6} }}$

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{1}{6} \ x \ + \frac{11}{6} }}$

Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma

$\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{1}{6} \ x \ + \frac{11}{6} }}$

$\boxed {\bold { 6y = 6\ .\ \left(-\frac{1}{6} \ x \ + \frac{11}{6}\right ) }}$

$\boxed {\bold { 6y =\not 6 \ . -\frac{1}{\not 6} \ x \ + \not 6 \ . \ \frac{11}{\not 6} }}$

$\boxed {\bold { 6y= -x + 11 }}$

$\boxed {\bold { x + 6y= 11 }}$

$\large\boxed {\bold { x +6y - 11 = 0 }}$

Habiendo hallado la ecuación general de la recta L1 que pasa por el punto (-1,2) y que es perpendicular a la recta L2