Question

3. Erick y Arturo son dos policias auxiliares que tiene equipos de comunicación con un alcance
de 180 m. si Erick se encuentra a una distancia de 155 m de la base central. Arturo a 222 m
de distancia de Erick y el ángulo que se forma a la linea de vista de la base central entre Erick
y Arturo es 93º. ¿a que distancia se encontrará Arturo de la base?: ¿se podrá comunicar con
la base central?​

Answer 1

Arturo se encuentra aproximadamente a 151 metros de la base central

Dado que los equipos de comunicación tienen un alcance de 180 metros Arturo podrá comunicarse con la base.

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un triángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la distancia de separación entre los dos policías, Erick y Arturo- donde Erick se ubica en el vértice C y Arturo en el B - y los lados AC (b) y BC (c) que equivalen a las distancias desde la Base Central a cada uno de los policías- donde conocemos una de esas distancias- la distancia a la que se encuentra Erick de la Base Central- la cual es de 155 metros- . Siendo esos dos lados a la vez las líneas de visión entre la base central hasta la distancia entre Erick y Arturo, con un ángulo de 93°

En donde se pide hallar a que distancia se encontrará Arturo de la Base Central

Y si este se podrá comunicar con la Base debido al alcance que tienen los equipos de comunicación

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos al ángulo dado por enunciado: de 93° como α

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del ángulo B - donde se encuentra el policía Arturo -  al cual denotamos como β  

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{222 \ m }{ sen (93 ^o ) } = \frac{ 155 \ m }{sen(\beta ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 155 \not m \ . \ sen(93 ^o ) }{222 \not m } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 155 \ . \ 0.9986295347545 }{222 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 154.78757788695 }{222 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = 0.6972413418331 }}$

Aplicamos la inversa del seno

$\boxed { \bold { \beta = arcsen(0.6972413418331 )}}$

$\large\boxed {\bold {\beta = 44.21^o }}$

El ángulo B (β) donde se ubica Arturo es de 44.21°

Hallamos el valor del del tercer ángulo C- donde se encuentra el policía Erick-  al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos uno de los valores de los ángulos del triángulo y hemos hallado el segundo Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 93^o+ 44.21^o+ \gamma }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 93^o- 44.21^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma = 42.79^o }}$

El ángulo C (γ) donde se ubica Erick es de 42.79°

Hallamos a que distancia se encuentra el policía Arturo de la Base Central

Estableciendo la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{155 \ m }{ sen (44.21 ^o ) } = \frac{ c }{sen(42.79^o) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 155 \ m \ . \ sen(42.79 ^o ) }{\ sen(44.21^o) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 155 \ m \ . \ 0.6793132338941 }{0.6972902167409 } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 105.29355125358 }{0.6972902167409 }\ m}}$

$\boxed { \bold { c \approx 151.003\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { c = 151 \ metros }}$

Arturo se encuentra aproximadamente a 151 metros de la Base Central

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas