Question

Escribe la ecuación de una recta que sea perpendicular a y=-\dfrac{2}{7}x+9y=− 7 2 ​ x+9y, equals, minus, start fraction, 2, divided by, 7, end fraction, x, plus, 9 y pase por el punto (4,-6)(4,−6)left parenthesis, 4, comma, minus, 6, right parenthesis.

Answer 1

La ecuación de la recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto P (4,-6) está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{7}{2}\ x \ + 8}}$

Solución

Sea la recta

$\large\boxed {\bold { y= \frac{2}{7} \ x + 9 }}$

Se pide hallar la ecuación de una recta perpendicular y que pase por el punto P (4,-6)

Se tiene a la recta en la forma de la ecuación pendiente ordenada al origen también llamada pendiente intercepción

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

El coeficiente que acompaña a la x es la pendiente de la recta.

A la cual se la denota como m

Al término independiente b, se lo llama ordenada en el origen de una recta.

Por tanto

Para la recta

$\large\boxed {\bold { y= \frac{2}{7} \ x + 9 }}$

Hallamos los valores de la pendiente m y de b la intersección en Y por medio de la forma de la ecuación pendiente ordenada al origen también llamada forma principal  $\bold { y = mx + b}$

Siendo

La pendiente de la recta

$\large\boxed {\bold { m =\frac{2}{7} }}$

Y b que es la intersección con el eje Y es la ordenada al origen

$\large\boxed {\bold { b =9 }}$

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular

Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular $\bold { m_{1} }$

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original $\bold { m }$

$\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{ m } }}$

$\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{\frac{2}{7} } }}$

$\boxed{\bold {m_{1} =- 1 \ . \ \frac{7}{2} }}$

$\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 7 }{2 } }}$

La pendiente de una recta perpendicular a la ecuación $\bold{y = \frac{2}{7} x +9 }$ es $\bold{- \frac{7}{2} }$

Hallamos la recta perpendicular a la dada que pase por el punto P (4,-6)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada, cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1  son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (4,-6) tomaremos x1 = 4 e y1 = - 6

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { - \frac{7}{2} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (4,-6) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (-6) = -\frac{7}{2} \ (x - (4) )}}$

$\large\boxed {\bold { y +6 = -\frac{7}{2}\ . \ (x - 4 )}}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y +6 = -\frac{7}{2}\ . \ (x - 4 )}}$

$\boxed {\bold { y +6 = -\frac{7x}{2}\ + \frac{28}{2} }}$

$\boxed {\bold { y +6 = -\frac{7x}{2}\ + 14 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{7x}{2}\ + 14 -6}}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{7x}{2}\ + 8}}$

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{7}{2}\ x \ + 8}}$

Habiendo hallado la recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto P (4, -6)        

Siendo las dos rectas perpendiculares  

Se adjunta gráfico

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso: