Question

hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,- 1) y cuya abscisa en el origen es el recíproco de su ordenada en el origen​

Answer 1

Respuesta:

Hay 2 respuestas (checar explicación paso a paso)

Explicación paso a paso:

Para poder hacerlo, ocupamos usar la forma normal de la recta:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Donde a es la abscisa al origen; y b es la ordenada al origen.

El problema dice que la abscisa al origen es el recíproco de la ordenada al origen, es decir:

$a=\frac{1}{b}$

Es decir, que sustituyendo el valor de a en la ecuación normal de la recta obtenemos:

$\frac{x}{\frac{1}{b} }+\frac{y}{b}=1\\\\xb+\frac{y}{b}=1$

Ahora si sustituimos el punto (2,-1), en la ecuación este deberá satisfacer la ecuación (teorema de la geometría analítica):

$(2)b+\frac{-1}{b}=1$

Y despejamos b:

$2b-\frac{1}{b}=1\\\\\frac{2b^{2}-1}{b}=1\\\\ 2b^{2}-1=b\\\\2b^{2}-b-1=0$

Llegamos a una ecuación cuadrática, asi que aplicamos fórmula general:

$x_{1,2}=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

*Recordando que a es el coeficiente del término cuadrático; b el coeficiente del término lineal; y c el término independiente.

$b_{1,2}=\frac{-(-1)+-\sqrt{(-1)^{2}-4(2)(-1)} }{2(2)}\\\\b_{1,2}=\frac{1+-\sqrt{1+8} }{4}\\\\b_{1,2}=\frac{1+-\sqrt{9} }{4}\\\\b_{1,2}=\frac{1+-3}{4}\\\\b_{1}=\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1\\\\b_{2}=\frac{1-3}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

Es decir, que hay 2 posibles valores de b para lo que una recta que pase por el punto (2,-1) y que su abscisa al origen sea recíproco de su ordenada al origen. Es decir, hay 2 ecuaciones de rectas como respuesta:

*Primer recta:

Con b=1 , el valor de a es:

$a=\frac{1}{1}=1$

Sustituyendo en la ecuación de la recta:

$\frac{x}{1}+\frac{y}{1}=1\\\\x+y=1$

Esta sería una de las respuestas.

*Segunda recta:

Con b=-1/2, el valor de a es:

$a=\frac{1}{-\frac{1}{2} }=-2$

Sustituyendo en la ecuación de la recta:

$\frac{x}{-2 }+\frac{y}{-\frac{1}{2} }=1\\\\-\frac{1}{2}x-2y=1$

Esta sería otra respuesta.

Suerte!