Question

Una empresa fabrica dos artículos A y B a partir de dos materias primas P y Q.
Cada unidad de producto requiere las cantidades que indica la siguiente tabla.

MATERIA PRIMA
ARTICULOS
P
A B
2 3
Q 1 5

La empresa dispone de un stock de 41u de P y 45u de Q. u= unidades.
MATERIA PRIMA
ARTICULOS
P
A B
2 3
Q 1 5

a. Demostrar que los vectores (2,1) y (3,5) forman una base de R2
b. Obtén el valor de (λ, β) que permiten que el vector (41,45) forme parte del espacio vectorial formado por (2,1) y (3,5) y que nos indican el número de unidades que podemos fabricar de cada producto para que no existan excedentes.

Answer 1

Queremos ver si esos vectores son base de R2
Sabemos que la base de R2 tiene 2 elementos
Entonces solo falta ver que esos dos vectores sean linealmente independientes
Como no son múltiplo uno  del otro, sabemos que lo son
Entonces forman una base de R2, es decir que haciendo combinaciones lineales de ellos podemos obtener todos los puntos del plano

Quiero ver que valores de λ y β hacen que (41,45) se pueda escribir como
λ(2,1)+ β(3,5) entonces (41,45)=(2λ+3β, λ+5β)   41=2λ+3β  45=λ+5β

De la 2da ecuación λ=45-5β Reemplazo en la 1era 41=2(45-5β)+3β
41=90-10β+3β   7β=49   β=7 enconces λ=45-5*7 =10

Es decir (41,45)=10(2,1)+7(3,5)=(20+21,10+35)=(41,45)

Podemos fabricar 10 de la unidad A y 7 de la unidad B