Respuestas
Respuesta:
El producto de cualquier número racional y cualquier número irracional siempre será un número irracional.
Explicación paso a paso:
Números racionales
Los números racionales son los números que resultan de la razón (división) entre dos números enteros. Se denota el conjunto de los números racionales como , así que:
El resultado de un número racional puede ser un entero (
) o bien un decimal (
), positivo o negativo. Además, entre los decimales puede ser de dos tipos, con un número limitado de cifras que llamaremos decimal exacto (
), o bien con un número ilimitado de cifras, que llamaremos decimal periódico (
).
Se llaman periódicos porque en la parte decimal hay una o más cifras que se repiten. Si justo los números que se repiten comienzan a las décimas, los llamamos periódicos puros (
), mientras que en caso contrario los llamamos periódicos mixtos (
)
Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo,
; por tanto, es un subconjunto de . De la misma manera que los naturales son también enteros, concretamente enteros positivos. Así tenemos que:
Los números racionales son cerrados no sólo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino también de la división (excepto por ).
Números irracionales
Hemos visto que cualquier número racional se puede expresar como un número entero, un decimal exacto o un decimal periódico.
Ahora bien, no todos los números decimales son exactos o periódicos, y por tanto, no todos los números decimales pueden ser expresados como una fracción de dos enteros.
Estos números decimales que no son exactos ni periódicos se caracterizan por tener infinitas cifras decimales no periódicas, es decir, que no se acaban nunca y no tienen un patrón de repetición.
Obsérvese que el conjunto de números irracionales es el complementario del conjunto de números racionales.
Algunos ejemplos de números irracionales son donde por ejemplo proviene de la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.