Question

dos trenes parten de una estación con 3 h de diferencia. el que parte primero se dirige hacia el norte con una rapidez de 100 km/h. el otro tren se dirige hacia el este con una rapidez de 60 km/h. ¿a qué razón está cambiando la distancia entre los trenes 2 h después que partió el segundo tren?

Answer 1

La distancia entre los trenes 2 h después está cambiando a 111.24110 km/h

La distancia recorrida por el primer tren está dada por la ecuación:

x₁ = 100(t+3)

y para el segundo tenemos:

x₂ = 60t

Donde se ha tomado la referencia t=0 en el instante en que sale el segundo tren. La distancia que los separa no es más que la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma y está dada por:

$d = \sqrt{x_1^2+x_2^2} \\\\d = \sqrt{(100(t+3))^2+(60t)^2}$

$d =\sqrt{(100^2(t+3)^2+60^2t^2}$

$d=\sqrt{400(34t^2+150t+225)}$

$d=20\sqrt{34t^2+150t+225}$

La razón de cambio de la distancia es la derivada con respecto al tiempo de la función d(t), por tanto:

$d'(t) = \dfrac{d}{dt}\left(\sqrt{13600t^2+60000t+90000}\right)$

Aplicando la regla de la cadena:

$d'(t)=20\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{34t^2+150t+225}}\cdot\dfrac{d}{dt}\left(34t^2+150t+225\right)$

$d'(t)=20\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{34t^2+150t+225}}\left(68t+150\right)$

$d'(t) = \dfrac{10\left(68t+150\right)}{\sqrt{34t^2+150t+225}}$

Evaluamos d'(2):

$d'(2) = \dfrac{10\left(68(2)+150\right)}{\sqrt{34(2)^2+150(2)+225}}$

$\boxed{d'(2) = \dfrac{2860}{\sqrt{661}}\approx 111.24110\ km/h}$

R/ La distancia entre los trenes 2 h después está cambiando a 111.24110 km/h