Question

Se muestran las graficas de las funciones posicion de dos competidoras, A y B, quienes compiten en los 100m y terminan en empate.
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a) Establezca una funcion que describa la funcion posicion de cada competidor.
b) Con sus palabras indique que representa la pendiente de las funciones de posicion de cada competidor
c) Utilizando las funciones encontradas, y mediante la definicion de derivada, establezca en que momentos los competidores tienen la misma velocidad.

Answer 1

La velocidad de los competidores es la misma a los  7  segundos de carrera. En ese momento las pendientes de sus funciones posición son iguales.

Explicación:

a) Establezca una función que describa la función posición de cada competidor.

El competidor A tiene una función de posición representada por una recta que pasa por los puntos  (0, 0)  y  (14, 100)

En este caso vamos a usar la llamada ecuación de la recta que pasa por dos puntos  (t₁, s₁)  y  (t₂, s₂):

$\bold{(s~-~s_{1})~=~\dfrac{s_{2}~-~s_{1}}{t_{2}~-~t_{1}}(t~-~t_{1})}$

$\bold{(s~-~0)~=~\dfrac{100~-~0}{14~-~0)}(t~-~0)\qquad\Rightarrow}$

La ecuación de la función de posición de la competidora A es:

$\bold{s~=~\dfrac{50}{7}t}$

El competidor B tiene una función de posición representada por un arco de parábola de eje vertical que pasa por los puntos  (0, 0)  y  (14, 100)

Aplicaremos la ecuación canónica de una Parábola de eje vertical:  

$\bold{(t~-~h)^2~=~\pm 4p(s~-~k)}$

donde

(h, k)      vértice de la parábola.

p       es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.

$\bold{(14~-~0)^2~=~4p(100~-~0)\qquad\Rightarrow\qquad p~=~\dfrac{49}{100}}$

La ecuación de la función de posición de la competidora B es:

$\bold{s~=~\dfrac{25}{49}t^2}$

b) Con sus palabras indique que representa la pendiente de las funciones de posición de cada competidor

En ambos casos, la pendiente de las funciones de posición representa la tasa de cambio de la posición (s) en la medida en que el tiempo (t) cambia, es decir, el cambio de la posición en la unidad de tiempo.

Eso es la velocidad instantánea, lo cual es una de las interpretaciones de la derivada. Entonces, las pendientes o velocidades se pueden representar por medio de la respectiva función derivada:

$\bold{Pendiente~A~=~Velocidad~A~=~\dfrac{ds}{dt}~=~\dfrac{(\dfrac{50}{7}t)}{dt}~=~\dfrac{50}{7}}$

$\bold{Pendiente~B~=~Velocidad~B~=~\dfrac{ds}{dt}~=~\dfrac{(\dfrac{25}{49}t^2)}{dt}~=~\dfrac{50}{49}t}$

c) Utilizando las funciones encontradas, y mediante la definición de derivada, establezca en que momentos los competidores tienen la misma velocidad.

Los competidores tendrán la misma velocidad cuando sus derivadas sean iguales:

$\bold{\dfrac{50}{7}~=~\dfrac{50}{49}t}$

De aquí despejamos el valor de  t  que satisface esta ecuación:

t  =  7

La velocidad de los competidores es la misma a los  7  segundos de carrera. En ese momento las pendientes de sus funciones posición son iguales.