Question

La utilidad que se obtiene al producir y vender maletas en determinada empresa está dada por

x²
U(x) = - _ + 40x
10

Donde x representa el numero de maletas Y U(x) esta dada en soles .halla la utilidad maxima.​

Answer 1

Respuesta:

4000 soles con 200 maletas.

Explicación paso a paso:

La ecuación es la siguiente:

$U(x)=-\frac{x^{2}}{10} +40x$

Para hallar el máximo de una función, podemos derivar con respecto de x.

$U'(x)=-\frac{1}{10}(2)x+40 \\\\U'(x)=-\frac{1}{5}x+40$

Ahora, para hallar puntos críticos, igualamos la derivada de la función a cero, y despejamos a x:

$U'(x)=0--->-\frac{1}{5}x+40=0 \\\frac{1}{5}x=40\\x=40(5)\\x=200$

Volvemos a derivar U'(x):

$U''(x)=-\frac{1}{5}$

Aplicando entonces, criterio de la segunda derivada:

Sea $x_0$ un punto crítico de f(x), si:

*f''($x_0$)>0, entonces hay un mínimo en $x_0$

*f''($x_0$)<0, entonces hay un máximo en $x_0$

*f''($x_0$)=0, el criterio falla.

Es decir, que valuamos U''(x) (la segunda derivada) para x=200 (el punto crítico):

$U''(200)=-\frac{1}{5} --->U''(200)<0$

Con esto confirmamos que se trata de un máximo cuando x=200. Por último, para conocer la utilidad máxima, valuamos en la función inicial, es decir, en U(x):

$U(200)=-\frac{(200)^{2}}{10}+40(200) \\\\U(200)=-\frac{40000}{10}+8000 \\\\U(200)=-4000+8000\\Y(200)=4000$

Es decir, que la utilidad máxima, se logra con 200 maletas, y una utilidad de 4000 soles. Espero te sirva!!