Question

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 8√10 m, uno de los catetos tiene triple longitud del otro. ¿Cuál es el área del triángulo?
a) 90 2 b) 96 2 c) 85 2 d) 60 2 e) 50 2

Answer 1

El área del triángulo rectángulo es de 96 metros cuadrados

La opción correcta es la b

Se pide hallar el área de un triángulo rectángulo dada su hipotenusa

Donde se sabe que uno de los catetos tiene triple longitud que el otro

Solución

Tomamos la notación habitual en los triángulos rectángulos y denotamos como a y b a los catetos y c a la hipotenusa.

$\bold { a} \ \ \large\textsf{ Cateto 1 }$

$\bold { b} \ \ \large\textsf{ Cateto 2 }$

$\bold { c } \ \ \large\textsf{ Hipotenusa }$

$\bold { A } \ \ \large\textsf{ \'Area} \ \ \ \ \textsf{Que es la inc\'ognita }$

Donde para poder hallar el área debemos determinar las longitudes de los catetos

Hallaremos el valor de los catetos empleando el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2}= hipotenusa^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2}= c^{2} }}$

Donde conocemos el valor de la hipotenusa que es 8√10 metros

Y donde sabemos que un cateto tiene la triple longitud que el otro

Luego el cateto más pequeño será

$\large\textsf{ a = x }$

Y el cateto mayor será

$\large\textsf{ b = 3x }$

Reemplazamos los valores conocidos y las incógnitas empleando Pitágoras para resolver para x y hallar las magnitudes de los catetos

$\large\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2}= c^{2} }}$

Donde sabemos que las unidades son metros

$\boxed {\bold { (x)^{2} \ + \ (3x)^{2}= (8\sqrt{10} )^{2} }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ + \ 3^{2}\ . \ x^{2}= (8\sqrt{10} )^{2} }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ + \ 9 x^{2}= (8\sqrt{10} )^{2} }}$

$\boxed {\bold { 10 x^{2}= (8\sqrt{10} )^{2} }}$

$\boxed {\bold { 10 x^{2}= 8^{2} (\sqrt{10} )^{2} }}$

$\boxed {\bold { 10 x^{2}= 64 \ . \ 10 }}$

$\boxed {\bold { 10 x^{2}= 640 }}$

$\boxed {\bold { x^{2}= \frac{640}{10} }}$

$\boxed {\bold { x^{2}= 64 }}$

$\boxed {\bold { x= \pm\sqrt{64} }}$

$\large\boxed {\bold { x= 8 , -8 }}$

Donde tomamos la solución positiva dado que se trata de una medida de longitud

Luego

$\large\boxed {\bold { x= 8\ metros }}$

Teniendo

El cateto más pequeño:

$\large\textsf{ a = x }$

$\boxed {\bold {a= x= 8\ metros }}$

Y el cateto mayor:

$\large\textsf{ b = 3x }$

$\boxed {\bold {b= 3x= 3 \ . \ 8\ metros = 24 \ metros }}$

Hallamos el área del triángulo rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es la media del producto de sus catetos

Por lo tanto el área de un triángulo rectángulo está dada por

$\large\boxed {\bold { Area =\frac{a \ . \ b }{2 } }}$

Reemplazamos los valores hallados para determinar el área

$\boxed {\bold { Area =\frac{8 \ m \ . \ 24 \ m }{2 } }}$

$\boxed {\bold { Area =\frac{192 \ m^{2} }{2 } }}$

$\large\boxed {\bold { Area = 96 \ m^{2} }}$

El área del triángulo rectángulo es de 96 metros cuadrados