Question

4. Evaluar el siguiente límite trigonométrico presentado el paso a paso del
desarrollo y su respuesta.

lim
x→0 (cos x − 1) / sen^2x)

Answer 1

Respuesta:

-1/2

Explicación:

Tu límite es el siguiente:

$\lim_{x \to 0} \frac{Cos(x)-1}{Sen^{2}(x)}$

Si lo valuamos:

$\lim_{x \to 0} \frac{Cos(x)-1}{Sen^{2}(x)}=\frac{Cos(0)-1}{Sen^{2}(0)}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}---> FormaIndeterminada$

Para resolverlo, multiplicamos por el conjugado del numerador, es decir, de la siguiente forma:

$\lim_{x \to 0} \frac{Cos(x)-1}{Sen^{2}(x)} \times \frac{Cos(x)+1}{Cos(x)+1}$

*Recuerda que el conjugado de un binomio, es el mismo binomio, pero cambiándole el signo a uno de los términos (en este caso, el -1 pasó a 1).

*Observa que al multiplicar y dividir por el conjugado, no alteramos el límite, asi que procedemos a seguir la multiplicación:

$\lim_{x \to 0} \frac{Cos(x)-1}{Sen^{2}(x)} \times \frac{Cos(x)+1}{Cos(x)+1}\\\\\lim_{x \to 0} \frac{(Cos(x)-1)(Cos(x)+1)}{(Sen^{2}(x))(Cos(x)+1)}$

*Aplicando productos notables de un binomio conjugado:

$(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$

Es decir, el límite quedaría:

$lim_{x \to 0} \frac{(Cos(x)-1)(Cos(x)+1)}{(Sen^{2}(x))(Cos(x)+1)}\\\\lim_{x \to 0} \frac{Cos^{2}(x)-1}{(Sen^{2}(x))(Cos(x)+1)}$

Ahora, aplicando la identidad Pitagórica de Seno y Coseno:

$Sen^{2}(x)+Cos^{2}(x)=1--->Sen^{2}(x)=1-Cos^{2}(x)\\-Sen^{2}(x)=-1+Cos^{2}(x)$

*Despejamos el Sen^2 (x) y le cambiamos el signo de la misma identidad.

Podemos sustituir el numerador por $-Sen^2(x)$, así:

$lim_{x \to 0} \frac{Cos^{2}(x)-1}{(Sen^{2}(x))(Cos(x)+1)}\\\\lim_{x \to 0} \frac{-Sen^2(x)}{(Sen^{2}(x))(Cos(x)+1)}$

Ahora, podemos anular el $-Sen^2(x)$ del numerador con el $Sen^2(x)$ del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{-Sen^2(x)}{(Sen^{2}(x))(Cos(x)+1)}\\\\lim_{x \to 0} \frac{-1}{Cos(x)+1}$

Y si valuamos el límites de nuevo, obtenemos lo siguiente:

$lim_{x \to 0} \frac{-1}{Cos(x)+1}=\frac{-1}{Cos(0)+1}=\frac{-1}{1+1}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$

Es decir que el límite es -1/2.

$\lim_{x \to 0} \frac{Cos(x)-1}{Sen^{2}(x)}=-\frac{1}{2}$

Espero se entienda y te sirva. Suerte!!