Question

Una esfera rueda sobre un mesa de 1.1m de altura con una velocidad de 2.5m/s
a) ¿Cuanto tardará en llegar al suelo?
b) ¿Cual es el alcance total que logrará la esfera?

Answer 1

a) El tiempo de vuelo de la esfera es de 0.47 segundos y llegará al suelo para ese instante de tiempo

b) El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 1.18 metros, siendo esta magnitud el alcance total que logrará la esfera

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $(\bold { V_{y} = 0 ) }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Las ecuaciones del tiro horizontal son

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}$

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { y =y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}$

Dado que

$\boxed {\bold { y_{0}= H }}$

$\boxed {\bold { x_{0}= 0 }}$

$\boxed {\bold { a_{y}= g }}$

Podemos reescribir como:

Posición

Para el eje x

$\boxed {\bold { x =x_{0} +V \ . \ t }}$

Para el eje y

$\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

Velocidad

Para el eje x

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Para el eje y

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} =g$

SOLUCIÓN

a) Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la esfera

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g= 9,8 \ m/ s^{2} }$

Considerando la altura H desde donde ha caído $\bold {H= 1.1 \ m }$

$\large\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 1.1 \ m }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 2.2 \not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{0.2244897959183 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 0.47380 \ segundos } }$

$\large\boxed {\bold { t = 0.47 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo de la esfera es de 0.47 segundos y llegará al suelo para ese instante de tiempo

b) Hallamos el alcance horizontal de la esfera

$\large\boxed {\bold { x_{MAX} = d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX}= d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX}= d =2.5 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 0.47\ \not s }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} = d = 1.175 \ metros}}$

$\large\boxed {\bold { x_{MAX} = d = 1.18 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 1.18 metros, siendo esta magnitud el alcance total que logrará la esfera

Se adjunta gráfico de la trayectoria