Question

si vemos una chimenea bajo un ángulo de 30 grados ¿bajo que ángulo la veríamos si la distancia a la que nos encontramos de la misma fuese el doble?¿y si fuese el triple?

Answer 1

Si la distancia a la que nos encontramos de la chimenea fuese el doble la veríamos con un ángulo de 16.1°

Si la distancia a la que nos encontramos de la chimenea fuese el triple la veríamos con un ángulo de 10.89°

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.   

Solución

Si se observa una chimenea con un ángulo de elevación de 30°

Se pide hallar bajo que ángulo se vería si la distancia a la que se encuentra el observador fuese el doble. Y también si esta distancia fuese el triple

La razón trigonométrica para resolver este problema es mediante la tangente.

Donde la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

$\boxed{\bold { tan(\alpha ) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

Para ambos casos dado que la altura "h" de la chimenea es el cateto opuesto al ángulo y en donde las diferentes distancias hacia la chimenea son el cateto adyacente al ángulo

En donde la altura "h" de la chimenea es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre

Hallando el ángulo con que veríamos la chimenea si la distancia fuese el doble de la original

Planteamos un sistema de ecuaciones y despejamos el valor de "h" denotando al ángulo desconocido como α

$\boxed{\bold { tan(30)^o = \frac{ h }{ x } \ \ \ \ \ \to h = tan(30)^o \ . \ x } }$

$\boxed{\bold { tan(\alpha ) = \frac{ h }{2 x } \ \ \ \ \ \ \to h = tan(\alpha ) \ . \ 2x } }$

Como la altura "h" es la misma igualamos las ecuaciones

$\boxed{\bold { tan(30)^o \ . \ x = tan(\alpha ) \ . \ 2x } }$

$\boxed{\bold { tan(30)^o \ . \not x = tan(\alpha ) \ . \ 2\not x } }$

Luego

$\boxed{\bold {tan(\alpha ) = \frac{ tan(30)^o }{2} } }$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { tan(\alpha ) = \frac{ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ 2 } } }$

$\boxed{\bold { tan(\alpha ) = \frac{\sqrt{3} }{ 3} \ . \ \frac{1}{2} } }$

$\boxed{\bold { tan(\alpha ) = \frac{\sqrt{3} }{ 6} } }$

$\boxed{\bold { tan(\alpha ) = 0.2886751345948 } }$

Aplicamos la inversa de la tangente

$\boxed{\bold {\alpha = arctan(0.2886751345948) } }$

$\boxed{\bold {\alpha = 16.10211 ^o } }$

$\large\boxed{\bold {\alpha = 16.1 ^o } }$

Si la distancia a la que nos encontramos de la chimenea fuese el doble la veríamos con un ángulo de 16.1°

Hallando el ángulo con que veríamos la chimenea si la distancia fuese el triple de la original

Repetimos el procedimiento planteando un sistema de ecuaciones y despejamos el valor de "h" denotando al ángulo desconocido como β

$\boxed{\bold { tan(30)^o = \frac{ h }{ x } \ \ \ \ \ \to h = tan(30)^o \ . \ x } }$

$\boxed{\bold { tan(\beta ) = \frac{ h }{2 x } \ \ \ \ \ \ \to h = tan(\beta ) \ . \ 3x } }$

Como la altura "h" es la misma igualamos las ecuaciones

$\boxed{\bold { tan(30)^o \ . \ x = tan(\beta ) \ . \ 3x } }$

$\boxed{\bold { tan(30)^o \ . \not x = tan(\beta ) \ . \ 3\not x } }$

Luego

$\boxed{\bold {tan(\beta ) = \frac{ tan(30)^o }{3} } }$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { tan(\beta ) = \frac{ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ 3 } } }$

$\boxed{\bold { tan(\beta ) = \frac{\sqrt{3} }{ 3} \ . \ \frac{1}{3} } }$

$\boxed{\bold { tan(\beta ) = \frac{\sqrt{3} }{ 9} } }$

$\boxed{\bold { tan(\beta ) = 0.1924500897298 } }$

Aplicamos la inversa de la tangente

$\boxed{\bold {\beta = arctan( 0.1924500897298 ) } }$

$\boxed{\bold {\beta = 10.8933 ^o } }$

$\large\boxed{\bold {\beta = 10.89 ^o } }$

Si la distancia a la que nos encontramos de la chimenea fuese el triple la veríamos con un ángulo de 10.89°

Se adjunta gráfico